Nilalaman

• Upang humakbang

Ang isang equation na trigonometric ay isang equation na may isa o higit pang mga function na trigonometric ng variable na trigonometric curve x. Ang paglutas para sa x ay nangangahulugang paghahanap ng mga halaga ng mga trigonometric curve na ang mga pagpapaandar na trigonometriko ay sanhi ng pagiging totoo ng equation na trigonometric.

• Ang mga sagot, o halaga, ng mga solusyon sa kurba ay ipinahayag sa mga degree o radian. Mga halimbawa:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 degree; x = 37.12 degree; x = 178.37 degree

• Tandaan: Sa bilog ng yunit, ang mga trigonometric function ng anumang curve ay katumbas ng mga trigonometric function ng kaukulang anggulo. Tinutukoy ng bilog ng yunit ang lahat ng mga pag-andar ng trigonometric ng variable na kurba x. Ginagamit din ito bilang patunay sa paglutas ng mga pangunahing equation at hindi pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric na pagkakatulad.
• Mga halimbawa ng mga equation na trigonometric:
  • kasalanan x + kasalanan 2x = 1/2; tan x + cot x = 1.732;
  • cos 3x + kasalanan 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Ang bilog ng yunit.
   • Ito ay isang bilog na may Radius = 1, kung saan ang O ang pinagmulan. Tinutukoy ng bilog ng yunit ng 4 na pangunahing mga pag-andar ng trigonometric ng variable na kurba x, na bilugan ito nang paikot.
   • Kapag ang curve na may halagang x ay nag-iiba sa bilog ng yunit, pagkatapos ay humahawak:
   • Ang pahalang na axis na OAx ay tumutukoy sa trigonometric function f (x) = cos x.
   • Ang patayong axis na OBy ay tumutukoy sa trigonometric function f (x) = sin x.
   • Ang patayong axis AT ay tumutukoy sa trigonometric function f (x) = tan x.
   • Ang pahalang na axis BU ay tumutukoy sa trigonometric function f (x) = cot x.

• Ginagamit din ang bilog ng yunit upang malutas ang mga pangunahing equation ng trigonometric at karaniwang mga hindi pagkakapantay-pantay na trigonometric sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa iba't ibang mga posisyon ng curve x sa bilog.

Upang humakbang

1. Maunawaan ang pamamaraan ng solusyon.
   • Upang malutas ang isang equation na trigonometric ay binago mo ito sa isa o higit pang mga pangunahing equation na trigonometric. Ang paglutas ng mga equation na trigonometric sa huli ay nagreresulta sa paglutas ng 4 pangunahing mga equation na trigonometric.
2. Alamin kung paano malutas ang mga pangunahing equation ng trigonometric.
   • Mayroong 4 pangunahing mga equation na trigonometric:
   • kasalanan x = a; cos x = a
   • tan x = a; cot x = a
   • Maaari mong malutas ang pangunahing mga equation ng trigonometric sa pamamagitan ng pag-aaral ng iba't ibang mga posisyon ng curve x sa trigonometric na bilog at sa pamamagitan ng paggamit ng isang trigonometric na talahanayan ng conversion (o calculator). Upang lubos na maunawaan kung paano malutas ang mga ito at katulad na pangunahing mga equation na trigonometric, basahin ang sumusunod na libro: "Trigonometry: Paglutas ng Mga Equation at Trayometric na Katumbas" (Amazon E-book 2010).
   • Halimbawa 1. Malutas para sa kasalanan x = 0.866. Ang talahanayan ng conversion (o calculator) ay nagbibigay ng sagot: x = Pi / 3. Ang bilog na trigonometric ay nagbibigay ng isa pang kurba (2Pi / 3) na may parehong halaga para sa sine (0.866). Nagbibigay din ang bilog na trigonometric ng isang kawalang-hanggan ng mga sagot na tinatawag na pinalawig na mga sagot.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, at x2 = 2Pi / 3. (Tumutugon sa loob ng isang panahon (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, at x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Detalyadong mga sagot).
   • Halimbawa 2. Malutas: cos x = -1/2. Nagbibigay ang mga Calculator ng x = 2 Pi / 3. Nagbibigay din ang bilog na trigonometric ng x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, at x2 = - 2Pi / 3. (Mga sagot para sa panahon (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, at x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Pinalawak na Mga Sagot)
   • Halimbawa 3. Malutas: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Sagot)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Pinalawak na sagot)
   • Halimbawa 4. Malutas: cot 2x = 1.732. Nagbibigay ang mga Calculator at trigonometric na bilog:
   • x = Pi / 12; (Sagot)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Pinalawak na Mga Sagot)
3. Alamin ang mga pagbabagong ginamit sa paglutas ng mga equation na trigonometric.
   • Upang mai-convert ang isang naibigay na equation na trigonometric sa karaniwang mga equation na trigonometric, gumamit ng karaniwang mga conversion sa algebraic (factorization, karaniwang factor, polynomial ...), mga kahulugan at katangian ng mga trigonometric function at trigonometric identities. Mayroong mga 31, 14 na kung saan ay mga trigonometric na pagkakakilanlan, mula 19 hanggang 31, na tinatawag ding mga pagkakakilanlan ng pagbabago, sapagkat ginagamit ang mga ito sa pag-convert ng mga equonometric equation. Tingnan ang aklat sa itaas.
   • Halimbawa 5: Ang equation na trigonometric: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ay maaaring mai-convert sa isang produkto ng pangunahing mga equation na trigonometric gamit ang mga trigonometric na pagkakakilanlan: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Ang pangunahing mga equation na trigonometric upang malutas ay: cos x = 0; kasalanan (3x / 2) = 0; at cos (x / 2) = 0.
4. Hanapin ang mga curve kung saan kilala ang mga pag-andar na trigonometric.
   • Bago mo matutunan kung paano malutas ang mga equation na trigonometric, kailangan mong malaman kung paano mabilis na makahanap ng mga curve kung saan kilala ang mga pag-andar na trigonometric. Ang mga halaga ng conversion ng mga curve (o mga anggulo) ay maaaring matukoy sa mga talahanayan ng trigonometric o ang calculator.
   • Halimbawa: Malutas para sa cos x = 0.732. Ang calculator ay nagbibigay ng solusyon x = 42.95 degree. Ang bilog ng yunit ay nagbibigay ng iba pang mga curve na may parehong halaga para sa cosine.
5. Iguhit ang arko ng sagot sa bilog ng yunit.
   • Maaari kang lumikha ng isang grap upang ilarawan ang solusyon sa bilog ng yunit. Ang mga puntos ng pagtatapos ng mga curve na ito ay regular na polygon sa trigonometric na bilog. Ilang halimbawa:
   • Ang mga endpoint ng curve x = Pi / 3 + k. Ang Pi / 2 ay isang parisukat sa sa bilog ng yunit.
   • Ang mga kurba ng x = Pi / 4 + k.Pi / 3 ay kinakatawan ng mga coordinate ng isang hexagon sa bilog ng yunit.
6. Alamin kung paano malutas ang mga equation na trigonometric.
   • Kung ang ibinigay na equation na trigonometric ay naglalaman lamang ng isang trigonometric function, lutasin ito bilang isang karaniwang equonometric equation. Kung ang ibinigay na equation ay naglalaman ng dalawa o higit pang mga function na trigonometric, mayroong 2 mga paraan ng solusyon, depende sa mga pagpipilian para sa pag-convert ng equation.
     • A. Paraan 1.
   • I-convert ang trigonometric equation sa isang produkto ng form: f (x) .g (x) = 0 o f (x) .g (x) .h (x) = 0, kung saan f (x), g (x) at h (x) ay mga pangunahing equation na trigonometric.
   • Halimbawa 6. Malutas: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solusyon Palitan ang sin 2x sa equation gamit ang pagkakakilanlan: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Pagkatapos ay lutasin ang 2 karaniwang mga function ng trigonometric: cos x = 0, at (sin x + 1) = 0.
   • Halimbawa 7. Malutas: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Solusyon: I-convert ito sa isang produkto, gamit ang mga trigonometric na pagkakakilanlan: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang 2 pangunahing mga equation na trigonometric: cos 2x = 0, at (2cos x + 1) = 0.
   • Halimbawa 8. Malutas: kasalanan x - kasalanan 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Solusyon: Gawin itong isang produkto, gamit ang mga trigonometric na pagkakakilanlan: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ngayon ay lutasin ang 2 pangunahing mga equation na trigonometric: cos 2x = 0, at (2sin x + 1) = 0.
     • B. Diskarte 2.
   • Binabago ang trig equation sa isang trig equation na mayroon lamang isang natatanging pagpapaandar ng trig bilang isang variable. Mayroong ilang mga tip sa kung paano pumili ng isang angkop na variable. Ang mga karaniwang variable ay: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t at tan (x / 2) = t.
   • Halimbawa 9. Malutas: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Solusyon Sa equation, palitan ang (cos ^ 2x) ng (1 - sin ^ 2x), at gawing simple ang equation:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ngayon gumamit ng sin x = t. Ang equation ay nagiging: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ito ay isang quadratic equation na may 2 Roots: t1 = -1 at t2 = 9/5. Maaari nating tanggihan ang pangalawang t2, dahil> 1. Ngayon malutas ang para sa: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Halimbawa 10. Malutas: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Solusyon Gumamit ng tan x = t. I-convert ang ibinigay na equation sa isang equation na may t bilang isang variable: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Malutas ang para sa t mula sa produktong ito, pagkatapos ay lutasin ang karaniwang trigonometric equation na tan x = t para sa x.
7. Malutas ang mga espesyal na equation na trigonometric.
   • Mayroong ilang mga espesyal na equation na trigonometric na nangangailangan ng ilang mga tukoy na conversion. Mga halimbawa:
   • isang * kasalanan x + b * cos x = c; a (kasalanan x + cos x) + b * cos x * kasalanan x = c;
   • isang * kasalanan ^ 2 x + b * kasalanan x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Alamin ang mga pana-panahong katangian ng mga pag-andar ng trigonometric.
   • Ang lahat ng mga function na trigonometric ay pana-panahon, na nangangahulugang bumalik sila sa parehong halaga pagkatapos ng isang pag-ikot sa isang panahon. Mga halimbawa:
     • Ang pagpapaandar f (x) = sin x ay mayroong 2Pi bilang isang panahon.
     • Ang pagpapaandar f (x) = tan x ay may Pi bilang isang panahon.
     • Ang pagpapaandar f (x) = sin 2x ay may Pi bilang isang panahon.
     • Ang pagpapaandar f (x) = cos (x / 2) ay mayroong 4Pi bilang panahon.
   • Kung ang panahon ay tinukoy sa mga ehersisyo / pagsubok, kailangan mo lamang hanapin ang (mga) kurba x sa loob ng panahong ito.
   • TANDAAN: Ang paglutas ng mga equonometric equation ay mahirap at madalas na humahantong sa mga pagkakamali at pagkakamali. Samakatuwid, ang mga sagot ay dapat na maingat na suriin. Matapos ang paglutas, maaari mong suriin ang mga sagot gamit ang isang graphing calculator, para sa isang direktang representasyon ng ibinigay na equation na trigonometric na R (x) = 0. Ang mga sagot (bilang square root) ay ibinibigay sa decimal na lugar. Bilang halimbawa, ang Pi ay may halagang 3.14