Paano hatiin ang mga matrice

Video.: How To Multiply Matrices - Quick & Easy!

Nilalaman

Maikling buod
Mga hakbang
Bahagi 1 ng 3: Pagsubok sa Pagkakaiba-iba ng mga Pag-aasawa
Bahagi 2 ng 3: Paghahanap ng Inverse Matrix
Bahagi 3 ng 3: Pagpaparami ng Matrix
Mga Tip
Mga babala
Karagdagang mga artikulo

Kung alam mo kung paano i-multiply ang dalawang matrices, maaari mong simulang "paghati" sa mga matrice. Ang salitang "paghahati" ay nakapaloob sa mga marka ng panipi, sapagkat ang matrices ay hindi tunay na mahahati. Ang operasyon ng dibisyon ay pinalitan ng pagpapatakbo ng pag-multiply ng isang matrix ng isang matrix na kabaligtaran ng pangalawang matrix. Para sa pagiging simple, isaalang-alang ang isang halimbawa sa mga integer: 10 ÷ 5. Hanapin ang katumbas ng 5: 5 o /₅, at pagkatapos ay palitan ang paghahati sa pamamagitan ng pagpaparami: 10 x 5; ang resulta ng paghahati at pagpaparami ay magiging pareho. Samakatuwid, pinaniniwalaan na ang paghahati ay maaaring mapalitan ng pagpaparami ng kabaligtaran na matrix. Karaniwan, ang mga naturang kalkulasyon ay ginagamit upang malutas ang mga system ng mga linear equation.

Maikling buod

Hindi mo maaaring hatiin ang mga matrice. Sa halip na paghati, ang isang matrix ay pinarami ng kabaligtaran ng pangalawang matrix. Ang "Dibisyon" ng dalawang matris [A] ÷ [B] ay nakasulat tulad ng sumusunod: [A] * [B] o [B] * [A].
Kung ang matrix [B] ay hindi parisukat, o kung ang determinant nito ay 0, isulat ang "walang malinaw na solusyon." Kung hindi man, hanapin ang tumutukoy ng matrix [B] at pumunta sa susunod na hakbang.
Hanapin ang kabaligtaran: [B].
I-multiply ang mga matrice upang makahanap ng [A] * [B] o [B] * [A]. Tandaan na ang pagkakasunud-sunod kung saan pinarami ang mga matris ay nakakaapekto sa huling resulta (iyon ay, maaaring mag-iba ang mga resulta).

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 3: Pagsubok sa Pagkakaiba-iba ng mga Pag-aasawa

1 Maunawaan ang "paghahati" ng mga matrices. Sa katunayan, ang mga matrice ay hindi maaaring hatiin. Walang tulad na pagpapatakbo sa matematika bilang "paghati sa isang matrix sa isa pa". Ang paghati ay pinalitan ng pag-multiply ng isang matrix ng kabaligtaran ng pangalawang matrix. Iyon ay, ang notasyong [A] ÷ [B] ay hindi tama, kaya pinalitan ito ng sumusunod na notasyon: [A] * [B]. Dahil ang parehong mga entry ay katumbas sa kaso ng mga halaga ng scalar, teoretikal na maaari nating pag-usapan ang tungkol sa "paghahati" ng mga matrices, ngunit mas mabuti pa ring gamitin ang wastong terminolohiya.
- Tandaan na ang [A] * [B] at [B] * [A] ay magkakaibang operasyon. Maaaring kailanganin upang maisagawa ang parehong operasyon upang makahanap ng lahat ng posibleng solusyon.
- Halimbawa, sa halip na ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ isulat ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { start {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Maaaring kailanganin mong mag-compute ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { simulan ang {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ upang makakuha ng ibang resulta.
2 Siguraduhin na ang matrix na "pinaghahati" mo sa iba pang matrix ay parisukat. Upang baligtarin ang isang matrix (hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix), dapat itong parisukat, iyon ay, na may parehong bilang ng mga hilera at haligi. Kung ang baligtad na matrix ay hindi kabaligtaran, walang tiyak na solusyon.
- Muli, ang mga matrice ay hindi "nahahati" dito. Sa pagpapatakbo [A] * [B], ang inilarawan na kundisyon ay tumutukoy sa matrix [B]. Sa aming halimbawa, ang kundisyong ito ay tumutukoy sa matrix ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Ang isang matrix na maaaring baligtarin ay tinatawag na non-degenerate o regular. Ang isang matrix na hindi maaaring baligtarin ay tinatawag na degenerate o singular.
3 Suriin kung ang dalawang matris ay maaaring maparami. Upang maparami ang dalawang matris, ang bilang ng mga haligi sa unang matrix ay dapat na katumbas ng bilang ng mga hilera sa pangalawang matrix. Kung ang kundisyong ito ay hindi natutugunan sa entry na [A] * [B] o [B] * [A], walang solusyon.
- Halimbawa, kung ang laki ng matrix [A] ay 4 x 3 at ang laki ng matrix [B] ay 2 x 2, walang solusyon. Hindi mo maaaring i-multiply ang [A] * [B] dahil 4 ≠ 2, at hindi mo maparami ang [B] * [A] dahil 2 ≠ 3.
- Tandaan na ang kabaligtaran na matrix [B] ay laging may parehong bilang ng mga hilera at haligi tulad ng orihinal na matrix [B]. Hindi kinakailangan upang hanapin ang kabaligtaran matrix upang suriin na ang dalawang matris ay maaaring maparami.
- Sa aming halimbawa, ang laki ng parehong matrices ay 2 x 2, kaya maaari silang maparami sa anumang pagkakasunud-sunod.
4 Hanapin ang pantukoy ng 2 × 2 matrix. Tandaan: maaari mo lamang baligtarin ang isang matrix kung ang determinant nito ay hindi zero (kung hindi man, hindi mo maaaring baligtarin ang matrix). Narito kung paano hanapin ang nagpapasiya ng isang 2 x 2 matrix:
- 2 x 2 Matrix: nagpapasiya ng isang matrix ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ ay katumbas ng ad - bc. Iyon ay, mula sa produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal (dumadaan sa kaliwang itaas at ibabang kanang sulok), ibawas ang mga produkto ng mga elemento ng iba pang dayagonal (dumadaan sa kanang itaas at ibabang kaliwang sulok).
- Halimbawa, ang tumutukoy ng matrix ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ ay katumbas ng (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Ang tumutukoy ay nonzero, kaya't ang matrix na ito ay maaaring baligtarin.
5 Hanapin ang tumutukoy ng mas malaking matrix. Kung ang laki ng matrix ay 3 x 3 o higit pa, ang tumutukoy ay medyo mahirap na kalkulahin.
- 3 x 3 matrix: pumili ng anumang item at i-cross out ang hilera at haligi na ito ay nasa.Hanapin ang tumutukoy sa nagresultang 2 × 2 matrix, at pagkatapos ay i-multiply ito sa napiling elemento; tukuyin ang pag-sign ng determinant sa isang espesyal na talahanayan. Ulitin ang prosesong ito para sa iba pang dalawang mga item na nasa parehong hilera o haligi tulad ng item na iyong pinili. Pagkatapos hanapin ang kabuuan ng (tatlong) natukoy na mga natukoy. Basahin ang artikulong ito para sa karagdagang impormasyon tungkol sa kung paano makahanap ng tumutukoy sa isang 3 x 3 matrix.
- Malaking matris: ang tumutukoy ng naturang mga matrice ay pinakamahusay na hinahangad gamit ang isang graphing calculator o software. Ang pamamaraan ay katulad ng pamamaraan para sa paghahanap ng tumutukoy ng isang 3 × 3 matrix, ngunit nakakapagod na ilapat ito nang manu-mano. Halimbawa, upang mahanap ang nagpapasiya ng isang 4 x 4 matrix, kailangan mong hanapin ang mga tumutukoy ng apat na 3 x 3 matrices.
6 Magpatuloy sa mga kalkulasyon. Kung ang matrix ay hindi parisukat o kung ang tumutukoy nito ay katumbas ng zero, isulat ang "walang hindi malinaw na solusyon", iyon ay, nakumpleto ang proseso ng pagkalkula. Kung ang matrix ay parisukat at may isang nonzero determinant, lumaktaw sa susunod na seksyon.

Bahagi 2 ng 3: Paghahanap ng Inverse Matrix

1 Ipagpalit ang mga elemento ng pangunahing dayagonal ng 2 x 2 matrix. Dahil sa isang 2 × 2 matrix, gamitin ang mabilis na kabaligtaran na pamamaraan. Una, ipagpalit ang pang-itaas na kaliwang elemento at ang kanang-ilalim na elemento. Halimbawa:
- ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Tandaan: karamihan sa mga tao ay gumagamit ng mga calculator upang baligtarin ang isang 3 x 3 (o mas malaki) matrix. Kung kailangan mong gawin ito nang manu-mano, pumunta sa dulo ng seksyong ito.
2 Huwag palitan ang natitirang dalawang elemento, ngunit baguhin ang kanilang pag-sign. Iyon ay, i-multiply ang kanang bahagi sa itaas at ang kaliwang elemento sa kaliwa ng -1:
- ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { start {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Hanapin ang suklian ng tumutukoy. Ang tumutukoy ng matrix na ito ay natagpuan sa nakaraang seksyon, kaya hindi namin ito makakalkula muli. Ang kabaligtaran ng nagpapasiya ay nakasulat tulad ng sumusunod: 1 / (determinant):
- Sa aming halimbawa, ang tumutukoy ay 13. Reverse na halaga: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 I-multiply ang nagresultang matrix ng kapalit ng tumutukoy. I-multiply ang bawat elemento ng bagong matrix sa pamamagitan ng kabaligtaran ng determinant. Ang pangwakas na matrix ay ang kabaligtaran ng orihinal na 2 x 2 matrix:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { simulan {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7 } {13}} tapusin ang {pmatrix}}}$
5 Suriin ang mga kalkulasyon ay tama. Upang gawin ito, i-multiply ang orihinal na matrix sa pamamagitan ng kabaligtaran nito. Kung ang mga kalkulasyon ay tama, ang produkto ng orihinal na matrix ng kabaligtaran ay magbibigay ng pagkakakilanlan matrix: (1001){ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 pagtatapos {pmatrix}}}... Kung matagumpay ang pagsubok, magpatuloy sa susunod na seksyon.
- Sa aming halimbawa: ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { simulan {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Para sa karagdagang impormasyon tungkol sa kung paano magparami ng mga matris, basahin ang artikulong ito.
- Tandaan: ang pagpapatakbo ng pagpaparami ng matrix ay hindi commutative, iyon ay, ang pagkakasunud-sunod ng mga matris ay mahalaga. Ngunit kapag ang orihinal na matrix ay pinarami ng kabaligtaran nito, ang anumang pagkakasunud-sunod ay humahantong sa matrix ng pagkakakilanlan.
6 Hanapin ang kabaligtaran ng isang 3 x 3 matrix (o mas malaki). Kung pamilyar ka na sa prosesong ito, mas mahusay na gumamit ng calculator ng graphing o espesyal na software. Kung kailangan mong hanapin ang kabaligtaran matrix nang manu-mano, ang proseso ay maikling nailarawan sa ibaba:
- Sumali sa identity matrix I sa kanang bahagi ng orihinal na matrix. Halimbawa, [B] → [B | Ako]. Para sa identity matrix, ang lahat ng mga elemento ng pangunahing dayagonal ay katumbas ng 1, at lahat ng iba pang mga elemento ay katumbas ng 0.
- Pasimplehin ang matrix upang ang kaliwang bahagi nito ay magiging stepped; magpatuloy sa pagpapadali upang ang kaliwang bahagi ay magiging identity matrix.
- Pagkatapos ng pagpapagaan, ang matrix ay kukuha ng sumusunod na form: [I | B] Iyon ay, ang kanang bahagi nito ay ang kabaligtaran ng orihinal na matrix.

Bahagi 3 ng 3: Pagpaparami ng Matrix

1 Sumulat ng dalawang posibleng ekspresyon. Ang pagpapatakbo ng pag-multiply ng dalawang scalars ay commutative, iyon ay, 2 x 6 = 6 x 2.Hindi ito ang kaso sa kaso ng pagpaparami ng matrix, kaya maaaring malutas mo ang dalawang expression:
- x = [A] * [B] ang solusyon sa equation x[B] = [A].
- x = [B] * [A] ang solusyon sa equation [B]x = [A].
- Gawin ang bawat pagpapatakbo ng matematika sa magkabilang panig ng equation. Kung [A] = [C] pagkatapos [B] [A] ≠ [C] [B] sapagkat ang [B] ay nasa kaliwa ng [A] ngunit sa kanan ng [C].
2 Tukuyin ang laki ng pangwakas na matrix. Ang laki ng pangwakas na matrix ay nakasalalay sa laki ng mga multiply na matris. Ang bilang ng mga hilera sa huling matrix ay katumbas ng bilang ng mga hilera sa unang matrix, at ang bilang ng mga haligi sa huling matrix ay katumbas ng bilang ng mga haligi sa pangalawang matrix.
- Sa aming halimbawa, ang laki ng parehong matrices ${ displaystyle { start {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ at ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7 } {13}} tapusin ang {pmatrix}}}$ ay 2 x 2, kaya ang laki ng orihinal na matrix ay magiging 2 x 2.
- Isaalang-alang ang isang mas kumplikadong halimbawa: kung ang laki ng matrix [A] ay 4 x 3, at ang laki ng matrix [B] ay 3 x 3, pagkatapos ang pangwakas na matrix [A] * [B] ay magiging 4 x 3.
3 Hanapin ang halaga ng unang elemento. Basahin ang artikulong ito o tandaan ang mga sumusunod na pangunahing hakbang:
- Upang mahanap ang unang elemento (unang hilera, unang haligi) ng pangwakas na matrix [A] [B], kalkulahin ang tuldok na produkto ng mga elemento ng unang hilera ng matrix [A] at ang mga elemento ng unang haligi ng matrix [B ] Sa kaso ng isang 2 x 2 matrix, ang produktong tuldok ay kinakalkula tulad ng sumusunod: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Sa aming halimbawa: ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7} {13}} pagtatapos {pmatrix}}}$ ... Kaya, ang unang elemento ng pangwakas na matrix ay ang elemento:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Magpatuloy sa pagkalkula ng mga produkto ng tuldok upang mahanap ang bawat elemento ng pangwakas na matrix. Halimbawa, ang elemento na matatagpuan sa pangalawang hilera at ang unang haligi ay katumbas ng tuldok na produkto ng pangalawang hilera ng matrix [A] at ang unang haligi ng matrix [B]. Subukang hanapin ang iyong natitirang mga item sa iyong sarili. Dapat mong makuha ang mga sumusunod na resulta:
- ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 tapusin ang {pmatrix}}}$
- Kung kailangan mong maghanap ng isa pang solusyon: ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} { frac {3} {13}} at { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} at { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { simulan {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 tapusin ang {pmatrix}}}$

Mga Tip

Ang matrix ay maaaring nahahati sa isang scalar; para dito, ang bawat elemento ng matrix ay nahahati sa isang skalar.
- Halimbawa, kung ang matrix ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ hinati sa 2, nakukuha mo ang matrix ${ displaystyle { simulan ang {pmatrix} 3 at 4 1 & 2 pagtatapos {pmatrix}}}$

Mga babala

Ang calculator ay hindi laging nagbibigay ng ganap na tumpak na mga resulta pagdating sa mga kalkulasyon ng matrix. Halimbawa, kung inaangkin ng calculator na ang item ay isang napakaliit na numero (tulad ng 2E), ang halaga ay malamang na zero.