Nilalaman

• Paunang impormasyon
• Mga hakbang
• Bahagi 1 ng 3: Ang Mga Pangunahing Kaalaman
• Bahagi 2 ng 3: Mga Katangian ng Laplace transform
• Bahagi 3 ng 3: Paghahanap ng Laplace Transform sa pamamagitan ng Pagpapalawak ng Serye

Ang Laplace transform ay isang integral na pagbabago na ginagamit upang malutas ang mga pagkakapantay-pantay na equation na may pare-pareho na mga coefficients. Ang pagbabagong ito ay malawakang ginagamit sa pisika at inhinyeriya.

Habang magagamit mo ang mga naaangkop na talahanayan, kapaki-pakinabang na maunawaan ang Laplace transform upang magawa mo ito nang iyong sarili kung kinakailangan.

Paunang impormasyon

• Binigyan ng pagpapaandar ${ displaystyle f (t)}$tinukoy para sa ${ displaystyle t geq 0.}$ Tapos Laplace transform pagpapaandar ${ displaystyle f (t)}$ ay ang susunod na pagpapaandar ng bawat halaga ${ displaystyle s}$, kung saan ang integral ay nagtatagpo:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Ang Laplace transform ay tumatagal ng isang pag-andar mula sa t-rehiyon (scale ng oras) hanggang sa s-rehiyon (rehiyon ng pagbabago), kung saan ${ displaystyle F (s)}$ ay isang komplikadong pag-andar ng isang komplikadong variable. Pinapayagan kang ilipat ang pagpapaandar sa isang lugar kung saan ang isang solusyon ay maaaring matagpuan nang mas madali.
• Malinaw na ang Laplace transform ay isang linear operator, kaya kung nakikipag-usap kami sa isang kabuuan ng mga term, ang bawat integral ay maaaring makalkula nang magkahiwalay.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Tandaan na ang Laplace transform ay gagana lamang kung ang integral ay nagtatagpo. Kung ang pagpapaandar ${ displaystyle f (t)}$ may mga discontinuities, kinakailangang mag-ingat at wastong itakda ang mga limitasyon ng pagsasama upang maiwasan ang kawalan ng katiyakan.

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 3: Ang Mga Pangunahing Kaalaman

1. 1 Palitan ang pagpapaandar sa formula ng pagbabago ng Laplace. Sa teoretikal, ang Laplace transform ng isang pagpapaandar ay napakadaling makalkula. Bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang pagpapaandar ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, saan ${ displaystyle a}$ ay isang kumplikadong pare-pareho sa ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Tantyahin ang integral gamit ang mga magagamit na pamamaraan. Sa aming halimbawa, ang pagtantya ay napaka-simple at makakakuha ka ng mga simpleng pagkalkula. Sa mas kumplikadong mga kaso, maaaring kailanganin ang mas kumplikadong mga pamamaraan, halimbawa, pagsasama ng mga bahagi o pagkita ng kaibhan sa ilalim ng integral na pag-sign. Pagpipigil ng kundisyon ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ nangangahulugan na ang integral na nagtatagpo, iyon ay, ang halaga nito ay may gawi sa 0 bilang ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { magsimula {nakahanay} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {nakahanay}}}$
   • Tandaan na binibigyan tayo nito ng dalawang uri ng Laplace transform, na may sine at cosine, dahil ayon sa pormula ni Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Sa kasong ito, nakukuha natin sa denominator ${ displaystyle s-ia,}$ at nananatili lamang ito upang matukoy ang tunay at haka-haka na mga bahagi. Maaari mo ring suriin nang direkta ang resulta, ngunit tatagal nang kaunti.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} kanan) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} pakaliwa ({ frac {1} {s-ia}} kanan) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Isaalang-alang ang Laplace transform ng isang pagpapaandar ng kuryente. Una, kailangan mong tukuyin ang pagbabago ng pagpapaandar ng kuryente, dahil pinapayagan ka ng linearity na ari-arian na hanapin ang pagbabago sa lahat mga polynomial. Isang pagpapaandar ng form ${ displaystyle t ^ {n},}$ kung saan ${ displaystyle n}$ - anumang positibong integer. Maaaring isama piraso ng piraso upang tukuyin ang isang recursive na panuntunan.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Ang resulta na ito ay ipinahiwatig na implicit, ngunit kung kapalit mo ang maraming mga halaga ${ displaystyle n,}$ maaari kang magtaguyod ng isang tiyak na pattern (subukang gawin ito sa iyong sarili), na nagbibigay-daan sa iyo upang makuha ang sumusunod na resulta:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Maaari mo ring tukuyin ang Laplace transform ng mga lakas na praksyonal gamit ang gamma function. Halimbawa, sa ganitong paraan maaari mong makita ang pagbabago ng isang pagpapaandar tulad ng ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Bagaman ang mga pag-andar na may mga lakas na praksyonal ay dapat may mga pagbawas (tandaan, ang anumang mga kumplikadong numero ${ displaystyle z}$ at ${ displaystyle alpha}$ maaaring isulat bilang ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, dahil ang ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), maaari silang palaging matukoy sa isang paraan na ang mga pagbawas ay namamalagi sa kaliwang kalahating eroplano, at sa gayon ay maiwasan ang mga problema sa pagiging analitiko.

Bahagi 2 ng 3: Mga Katangian ng Laplace transform

1. 1 Hahanapin natin ang Laplace transform ng pagpapaandar na pinarami ng eat{ displaystyle e ^ {at}}. Ang mga resulta na nakuha sa nakaraang seksyon ay pinapayagan kaming malaman ang ilang mga kagiliw-giliw na katangian ng Laplace transform. Ang Laplace ay nagbabago ng mga pagpapaandar tulad ng cosine, sine, at exponential function na tila mas simple kaysa sa power function transform. Pagpaparami ng ${ displaystyle e ^ {at}}$ sa t-rehiyon ay tumutugma sa paglilipat sa s-rehiyon:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Pinapayagan ka agad ng pag-aari na ito upang mahanap ang pagbabago ng mga pagpapaandar tulad ng ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, nang hindi kinakailangang kalkulahin ang integral:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Hahanapin natin ang Laplace transform ng pagpapaandar na pinarami ng tn{ displaystyle t ^ {n}}. Una, isaalang-alang ang pagpaparami ng ${ displaystyle t}$... Sa pamamagitan ng kahulugan, maaaring makilala ng isang tao ang isang pagpapaandar sa ilalim ng isang integral at makakuha ng isang nakakagulat na simpleng resulta:
   • ${ displaystyle { magsimula {nakahanay} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {nakahanay}}}$
   • Ang pag-uulit sa operasyong ito, nakukuha namin ang pangwakas na resulta:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Bagaman ang pag-aayos ng mga operator ng pagsasama at pagkita ng kaibhan ay nangangailangan ng ilang karagdagang pagbibigay-katwiran, hindi namin ito ipapakita dito, ngunit tandaan lamang na ang operasyon na ito ay tama kung ang pangwakas na resulta ay may katuturan. Maaari mo ring isaalang-alang ang katunayan na ang mga variable ${ displaystyle s}$ at ${ displaystyle t}$ huwag umasa sa bawat isa.
   • Gamit ang panuntunang ito, madaling makahanap ng pagbabago ng mga pagpapaandar tulad ng ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, nang walang muling pagsasama ng mga bahagi:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Hanapin ang Laplace transform ng pagpapaandar f(at){ displaystyle f (at)}. Madali itong magagawa sa pamamagitan ng pagpapalit ng variable sa iyo gamit ang kahulugan ng isang pagbabago:
   • ${ displaystyle { start {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F pakaliwa ({ frac {s} {a}} kanan) end {nakahanay}}}$
   • Sa itaas, nakita namin ang Laplace na nagbago ng mga pag-andar ${ displaystyle sin at}$ at ${ displaystyle cos at}$ direkta mula sa exponential function. Gamit ang pag-aari na ito, maaari kang makakuha ng parehong resulta kung nakita mo ang tunay at haka-haka na mga bahagi ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Hanapin ang Laplace transform ng derivative f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Hindi tulad ng mga nakaraang halimbawa, sa kasong ito kailangan isama ang piraso sa pamamagitan ng piraso:
   • ${ displaystyle { magsimula {nakahanay} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Malaking _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {nakahanay}}}$
   • Dahil ang pangalawang hinalaw ay nangyayari sa maraming mga pisikal na problema, nakita namin ang Laplace na nagbabago din para dito:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Sa pangkalahatang kaso, ang Laplace transform ng nth order derivative ay tinukoy bilang mga sumusunod (pinapayagan itong malutas ang mga kaugalian na pagkakatulad gamit ang Laplace transform):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Bahagi 3 ng 3: Paghahanap ng Laplace Transform sa pamamagitan ng Pagpapalawak ng Serye

1. 1 Hahanapin natin ang Laplace na magbago para sa isang pana-panahong pag-andar. Ang pana-panahong pag-andar ay nasiyahan ang kondisyon ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kung saan ${ displaystyle T}$ ay ang panahon ng pagpapaandar, at ${ displaystyle n}$ ay isang positibong integer. Ang mga pana-panahong pag-andar ay malawakang ginagamit sa maraming mga application, kabilang ang pagproseso ng signal at electrical engineering. Gamit ang mga simpleng pagbabago, nakukuha namin ang sumusunod na resulta:
   • ${ displaystyle { magsimula {nakahanay} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { nakahanay}}}$
   • Tulad ng nakikita mo, sa kaso ng isang pana-panahong pag-andar, sapat na upang maisagawa ang Laplace transform para sa isang panahon.
2. 2 Gawin ang Laplace transform para sa natural logarithm. Sa kasong ito, ang integral ay hindi maaaring ipahayag sa anyo ng mga pagpapaandar sa elementarya. Ang paggamit ng gamma function at pagpapalawak ng serye ay nagbibigay-daan sa iyo upang tantyahin ang natural na logarithm at mga degree nito. Ang pagkakaroon ng pare-pareho ng Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ ipinapakita na upang matantya ang integral na ito, kinakailangan na gumamit ng isang serye ng pagpapalawak.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Isaalang-alang ang pagbabago ng Laplace ng hindi nabuong normal na pagpapaandar. Pag-andar ${ displaystyle operatorname {faamaoni} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ malawakang ginagamit para sa pagpoproseso ng signal, sa mga equation na kaugalian ito ay katumbas ng spherical Bessel function ng unang uri at zero order ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Ang Laplace transform ng pagpapaandar na ito ay hindi rin makakalkula ng mga karaniwang pamamaraan. Sa kasong ito, ang pagbabago ng mga indibidwal na miyembro ng serye, na kung saan ay mga pagpapaandar ng kuryente, ay isinasagawa, kaya't ang kanilang mga pagbabago ay kinakailangang magtagpo sa isang naibigay na agwat.
   • Una, isinusulat namin ang pagpapalawak ng pagpapaandar sa isang serye ng Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Ngayon ay ginagamit namin ang alam na Laplace transform ng isang pagpapaandar ng kuryente. Nakansela ang mga factorial, at bilang isang resulta nakukuha namin ang pagpapalawak ng Taylor para sa arctangent, iyon ay, isang alternating serye na kahawig ng serye ng Taylor para sa sine, ngunit walang mga factorial:
     • ${ displaystyle { simulang {nakahanay} { mathcal {L}} kaliwa {{ frac { sin t} {t}} kanan } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} pagtatapos {nakahanay}}}$