Paano malutas ang isang linear na equation ng Diophantine

May -Akda: Mark Sanchez
Petsa Ng Paglikha: 5 Enero 2021
I -Update Ang Petsa: 1 Hulyo 2024
Anonim
Using Elimination to Solve Systems
Video.: Using Elimination to Solve Systems

Nilalaman

Upang malutas ang isang linear na equation ng Diophantine, kailangan mong hanapin ang mga halaga ng mga variable na "x" at "y", na mga integer. Ang isang integer solution ay mas kumplikado kaysa sa dati at nangangailangan ng isang tukoy na hanay ng mga aksyon. Una, kailangan mong kalkulahin ang pinakadakilang karaniwang pamamahagi (GCD) ng mga coefficients, at pagkatapos ay maghanap ng solusyon. Kapag natagpuan mo ang isang solusyon sa integer sa isang linear equation, maaari kang gumamit ng isang simpleng pattern upang makahanap ng isang walang katapusang bilang ng iba pang mga solusyon.

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 4: Paano Sumulat ng isang Equation

  1. 1 Isulat ang equation sa karaniwang form. Ang isang linear equation ay isang equation kung saan ang exponents ng mga variable ay hindi hihigit sa 1. Upang malutas ang naturang isang linear equation, isulat muna ito sa karaniwang form. Ang karaniwang form ng isang linear equation ay ganito: Ax+By=C{ displaystyle Axe + Ni = C}, saan A,B{ displaystyle A, B} at C{ displaystyle C} - buong numero.
    • Kung ang equation ay ibinibigay sa ibang form, dalhin ito sa karaniwang form gamit ang pangunahing mga pagpapatakbo ng algebraic. Halimbawa, binigyan ang equation 23x+4y−7x=−3y+15{ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}... Magbigay ng mga katulad na termino at isulat ang equation na tulad nito: 16x+7y=15{ displaystyle 16x + 7y = 15}.
  2. 2 Pasimplehin ang equation (kung maaari). Kapag isinulat mo ang equation sa karaniwang form, tingnan ang mga coefficients A,B{ displaystyle A, B} at C{ displaystyle C}... Kung ang mga logro na ito ay may GCD, hatiin ang lahat ng tatlong mga logro sa pamamagitan nito. Ang solusyon sa naturang pinasimple na equation ay magiging solusyon din sa orihinal na equation.
    • Halimbawa, kung ang lahat ng tatlong mga coefficients ay pantay, hatiin ang mga ito ng hindi bababa sa 2. Halimbawa:
      • 42x+36y=48{ displaystyle 42x + 36y = 48} (lahat ng mga miyembro ay nahahati sa pamamagitan ng 2)
      • 21x+18y=24{ displaystyle 21x + 18y = 24} (ngayon lahat ng mga miyembro ay nahahati ng 3)
      • 7x+6y=8{ displaystyle 7x + 6y = 8} (ang equation na ito ay hindi na maaaring gawing simple)
  3. 3 Suriin kung malulutas ang equation. Sa ilang mga kaso, maaari mong agad na sabihin na ang equation ay walang mga solusyon. Kung ang koepisyent na "C" ay hindi mahahati ng GCD ng mga coefficients na "A" at "B", ang mga equation ay walang mga solusyon.
    • Halimbawa, kung ang parehong mga coefficients A{ displaystyle A} at B{ displaystyle B} ay pantay, pagkatapos ang koepisyent C{ displaystyle C} dapat pantay. Ngunit kung C{ displaystyle C} kakaiba, pagkatapos ay walang solusyon.
      • Ang equation 2x+4y=21{ displaystyle 2x + 4y = 21} walang mga solusyon sa integer.
      • Ang equation 5x+10y=17{ displaystyle 5x + 10y = 17} walang mga solusyon sa integer dahil ang kaliwang bahagi ng equation ay nahahati ng 5 at ang kanang bahagi ay hindi.

Bahagi 2 ng 4: Paano isulat ang algorithm ng Euclid

  1. 1 Maunawaan ang algorithm ng Euclid. Ito ay isang serye ng paulit-ulit na paghahati kung saan ang nakaraang natitira ay ginagamit bilang susunod na tagahati. Ang huling tagahati na naghahati sa mga numero nang magkasama ay ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi (GCD) ng dalawang numero.
    • Halimbawa, hanapin natin ang GCD ng mga bilang 272 at 36 gamit ang Euclid's algorithm:
      • 272=7∗36+20{ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20} - Hatiin ang mas malaking bilang (272) sa isang maliit (36) at bigyang pansin ang natitira (20);
      • 36=1∗20+16{ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16} - hatiin ang dating tagahati (36) sa nakaraang natitira (20). Tandaan ang bagong nalalabi (16);
      • 20=1∗16+4{ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4} - hatiin ang dating tagahati (20) sa nakaraang natitira (16). Tandaan ang bagong nalalabi (4);
      • 16=4∗4+0{ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0} - Hatiin ang nakaraang tagahati (16) sa nakaraang natitira (4). Dahil ang natitira ay 0, masasabi nating ang 4 ay ang GCD ng orihinal na dalawang bilang 272 at 36.
  2. 2 Ilapat ang algorithm ng Euclid sa mga coefficients na "A" at "B". Kapag isinulat mo ang linear equation sa karaniwang form, tukuyin ang mga koepisyent na "A" at "B" at pagkatapos ay ilapat ang algorithm ng Euclid sa kanila upang hanapin ang GCD. Halimbawa, binigyan ng isang linear equation 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}.
    • Narito ang algorithm ng Euclid para sa mga coefficients A = 87 at B = 64:
      • 87=1∗64+23{ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}
      • 64=2∗23+18{ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}
      • 23=1∗18+5{ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}
      • 18=3∗5+3{ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}
      • 5=1∗3+2{ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}
      • 3=1∗2+1{ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}
      • 2=2∗1+0{ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}
  3. 3 Hanapin ang Pinakadakilang Karaniwang Kadahilanan (GCD). Dahil ang huling tagapamahagi ay 1, ang GCD 87 at 64 ay 1. Samakatuwid, ang 87 at 64 ay mga pangunahing numero na may kaugnayan sa bawat isa.
  4. 4 Pag-aralan ang resulta. Kapag nahanap mo ang mga coefficients ng gcd A{ displaystyle A} at B{ displaystyle B}, ihambing ito sa koepisyent C{ displaystyle C} ang orihinal na equation. Kung C{ displaystyle C} mahahati ng gcd A{ displaystyle A} at B{ displaystyle B}, ang equation ay may isang integer solution; kung hindi man ang equation ay walang mga solusyon.
    • Halimbawa, ang equation 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3} malulutas dahil ang 3 ay nahahati ng 1 (gcd = 1).
    • Halimbawa, ipagpalagay na GCD = 5. Ang 3 ay hindi pantay na mahahati ng 5, kaya ang equation na ito ay walang mga solusyon sa integer.
    • Tulad ng ipinakita sa ibaba, kung ang isang equation ay may isang integer solution, mayroon din itong walang katapusang bilang ng iba pang mga integer solution.

Bahagi 3 ng 4: Paano Makahanap ng Solusyon Gamit ang Euclid's Algorithm

  1. 1 Bilangin ang mga hakbang para sa pagkalkula ng GCD. Upang mahanap ang solusyon sa isang linear equation, kailangan mong gamitin ang Euclidean algorithm bilang batayan para sa proseso ng pagpapalit at pagpapasimple.
    • Magsimula sa pamamagitan ng bilang ng mga hakbang para sa pagkalkula ng GCD. Ganito ang proseso ng pagkalkula:
      • Hakbang 1:87=(1∗64)+23{ displaystyle { text {Hakbang 1}}: 87 = (1 * 64) +23}
      • Hakbang 2:64=(2∗23)+18{ displaystyle { text {Hakbang 2}}: 64 = (2 * 23) +18}
      • Hakbang 3:23=(1∗18)+5{ displaystyle { text {Hakbang 3}}: 23 = (1 * 18) +5}
      • Hakbang 4:18=(3∗5)+3{ displaystyle { text {Hakbang 4}}: 18 = (3 * 5) +3}
      • Hakbang 5:5=(1∗3)+2{ displaystyle { text {Hakbang 5}}: 5 = (1 * 3) +2}
      • Hakbang 6:3=(1∗2)+1{ displaystyle { text {Hakbang 6}}: 3 = (1 * 2) +1}
      • Hakbang 7:2=(2∗1)+0{ displaystyle { text {Hakbang 7}}: 2 = (2 * 1) +0}
  2. 2 Bigyang pansin ang huling hakbang, kung saan may natitira. Isulat muli ang equation para sa hakbang na ito upang ihiwalay ang natitira.
    • Sa aming halimbawa, ang huling hakbang na may natitirang hakbang ay 6. Ang natitira ay 1. Isulat muli ang equation sa hakbang 6 tulad ng sumusunod:
      • 1=3−(1∗2){ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}
  3. 3 Ihiwalay ang natitirang nakaraang hakbang. Ang prosesong ito ay isang sunud-sunod na "ilipat pataas". Sa bawat oras na ihiwalay mo ang natitira sa equation sa nakaraang hakbang.
    • Ihiwalay ang natitirang equation sa Hakbang 5:
      • 2=5−(1∗3){ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)} o 2=5−3{ displaystyle 2 = 5-3}
  4. 4 Palitan at gawing simple. Pansinin na ang equation sa Hakbang 6 ay naglalaman ng bilang 2, at sa equation sa Hakbang 5, ang numero 2 ay ihiwalay. Kaya sa halip na "2" sa equation sa hakbang 6, palitan ang expression sa hakbang 5:
    • 1=3−2{ displaystyle 1 = 3-2} (equation ng hakbang 6)
    • 1=3−(5−3){ displaystyle 1 = 3- (5-3)} (sa halip na 2, isang expression ay pinalitan)
    • 1=3−5+3{ displaystyle 1 = 3-5 + 3} (binuksan ang mga braket)
    • 1=2(3)−5{ displaystyle 1 = 2 (3) -5} (pinasimple)
  5. 5 Ulitin ang proseso ng pagpapalit at pagpapasimple. Ulitin ang inilarawan na proseso, paglipat sa Euclidean algorithm sa reverse order. Sa bawat oras na isusulat mo muli ang equation mula sa nakaraang hakbang at i-plug ito sa huling equation na nakukuha mo.
    • Ang huling hakbang na tiningnan namin ay ang hakbang 5. Kaya pumunta sa hakbang 4 at ihiwalay ang natitira sa equation para sa hakbang na iyon:
      • 3=18−(3∗5){ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}
    • Palitan ang expression na ito para sa "3" sa huling equation:
      • 1=2(18−3∗5)−5{ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}
      • 1=2(18)−6(5)−5{ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}
      • 1=2(18)−7(5){ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}
  6. 6 Magpatuloy sa proseso ng pagpapalit at pagpapasimple. Ang prosesong ito ay ulitin hanggang maabot mo ang paunang hakbang ng Euclidean algorithm. Ang layunin ng proseso ay upang isulat ang equation sa mga coefficients 87 at 64 ng orihinal na equation na malulutas. Sa aming halimbawa:
    • 1=2(18)−7(5){ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}
    • 1=2(18)−7(23−18){ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)} (pinalitan ang ekspresyon mula sa hakbang 3)
      • 1=2(18)−7(23)+7(18){ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}
      • 1=9(18)−7(23){ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}
    • 1=9(64−2∗23)−7(23){ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)} (pinalitan ang ekspresyon mula sa hakbang 2)
      • 1=9(64)−18(23)−7(23){ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}
      • 1=9(64)−25(23){ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}
    • 1=9(64)−25(87−64){ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)} (pinalitan ang ekspresyon mula sa hakbang 1)
      • 1=9(64)−25(87)+25(64){ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}
      • 1=34(64)−25(87){ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}
  7. 7 Isulat muli ang nagresultang equation alinsunod sa mga orihinal na coefficients. Kapag bumalik ka sa unang hakbang ng Euclidean algorithm, makikita mo na ang nagresultang equation ay naglalaman ng dalawang coefficients ng orihinal na equation. Isulat muli ang equation upang ang pagkakasunud-sunod ng mga term nito ay tumutugma sa mga coefficients ng orihinal na equation.
    • Sa aming halimbawa, ang orihinal na equation 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}... Samakatuwid, muling isulat ang nagresultang equation upang ang mga coefficients ay inilalagay sa linya.Magbayad ng espesyal na pansin sa koepisyent na "64". Sa orihinal na equation, ang koepisyent na ito ay negatibo, at sa Euclidean algorithm, positibo ito. Samakatuwid, ang kadahilanan 34 ay dapat gawing negatibo. Ang panghuling equation ay isusulat tulad nito:
      • 87(−25)−64(−34)=1{ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}
  8. 8 Ilapat ang naaangkop na multiplier upang makahanap ng solusyon. Tandaan na sa aming halimbawa, GCD = 1, kaya ang panghuling equation ay 1. Ngunit ang orihinal na equation (87x-64y) ay 3. Samakatuwid, ang lahat ng mga term sa huling equation ay dapat na multiply ng 3 upang makuha ang solusyon:
    • 87(−25∗3)−64(−34∗3)=1∗3{ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}
    • 87(−75)−64(−102)=3{ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}
  9. 9 Isulat ang integer solution sa equation. Ang mga bilang na pinarami ng mga coefficients ng orihinal na equation ay ang mga solusyon sa equation na iyon.
    • Sa aming halimbawa, isulat ang solusyon bilang isang pares ng mga coordinate: (x,y)=(−75,−102){ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}.

Bahagi 4 ng 4: Maghanap ng Walang Hanggan Iba pang Mga Solusyon

  1. 1 Maunawaan na mayroong isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Kung ang isang linear equation ay may isang integer solution, kung gayon dapat itong magkaroon ng walang hanggan maraming mga solusyon sa integer. Narito ang isang mabilis na patunay (sa form na algebraic):
    • Ax+By=C{ displaystyle Axe + Ni = C}
    • A(x+B)+B(y−A)=C{ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C} (kung idagdag mo ang "B" sa "x" at ibawas ang "A" mula sa "y", ang halaga ng orihinal na equation ay hindi magbabago)
  2. 2 Itala ang orihinal na mga halagang x at y. Ang template para sa pagkalkula ng susunod (walang katapusan) na mga solusyon ay nagsisimula sa tanging solusyon na iyong natagpuan.
    • Sa aming halimbawa, ang solusyon ay isang pares ng mga coordinate (x,y)=(−75,−102){ displaystyle (x, y) = (- 75, -102)}.
  3. 3 Idagdag ang "B" factor sa halagang "x". Gawin ito upang makahanap ng bagong x halaga.
    • Sa aming halimbawa, x = -75, at B = -64:
      • x=−75+(−64)=−139{ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}
    • Kaya, ang bagong halagang "x": x = -139.
  4. 4 Ibawas ang salik na "A" mula sa halagang "y". Upang ang halaga ng orihinal na equation ay hindi nagbabago, kapag nagdaragdag ng isang numero sa "x", kailangan mong bawasan ang isa pang numero mula sa "y".
    • Sa aming halimbawa, y = -102, at A = 87:
      • y=−102−87=−189{ displaystyle y = -102-87 = -189}
    • Kaya, ang bagong halaga para sa "y": y = -189.
    • Ang bagong pares ng mga coordinate ay isusulat tulad nito: (x,y)=(−139,−189){ displaystyle (x, y) = (- 139, -189)}.
  5. 5 Suriin ang solusyon. Upang mapatunayan na ang bagong pares ng coordinate ay isang solusyon sa orihinal na equation, i-plug ang mga halaga sa equation.
    • 87x−64y=3{ displaystyle 87x-64y = 3}
    • 87(−139)−64(−189)=3{ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}
    • 3=3{ displaystyle 3 = 3}
    • Dahil natutugunan ang pagkakapantay-pantay, ang desisyon ay tama.
  6. 6 Isulat ang mga expression upang makahanap ng maraming mga solusyon. Ang mga halagang "x" ay katumbas ng orihinal na solusyon kasama ang anumang maramihang mga "B" factor. Maaari itong isulat bilang sumusunod na ekspresyon:
    • x (k) = x + k (B), kung saan ang "x (k)" ay ang hanay ng mga halagang "x" at ang "x" ay ang orihinal (unang) halaga ng "x" na iyong nahanap.
      • Sa aming halimbawa:
      • x(k)=−75−64k{ displaystyle x (k) = - 75-64k}
    • y (k) = y-k (A), kung saan ang y (k) ay ang hanay ng mga halagang y at ang y ay ang orihinal (unang) y halagang nahanap mo.
      • Sa aming halimbawa:
      • y(k)=−102−87k{ displaystyle y (k) = - 102-87k}

Pinapayuhan Ka Naming Basahin

Paano Gumamit ng Coconut Oil upang Magamot ang Mga Fleas at Mga Problema sa Balat sa Mga Aso
Paano Gumamit ng Coconut Oil upang Magamot ang Mga Fleas at Mga Problema sa Balat sa Mga Aso
Paano Magtanim ng mga Halaman sa Mga Kaldero ng Salamin
Paano Magtanim ng mga Halaman sa Mga Kaldero ng Salamin
Paano gumawa ng slime nang walang pandikit
Paano gumawa ng slime nang walang pandikit
Paano matutulungan ang buhok na lumago nang mas mabilis kapag kalbo
Paano matutulungan ang buhok na lumago nang mas mabilis kapag kalbo