Nilalaman

• Upang humakbang
• Paraan 1 ng 3: Gamit ang pamamaraang pagpapalit
• Paraan 2 ng 3: Paggamit ng pamamaraang pag-aalis
• Paraan 3 ng 3: I-graphic ang mga equation
• Mga Tip
• Mga babala

Sa isang "sistema ng mga equation" hiniling sa iyo na malutas ang dalawa o higit pang mga equation nang sabay. Kapag ang dalawang ito ay naglalaman ng iba't ibang mga variable, tulad ng x at y, o a at b, maaaring mahirap sa unang tingin upang makita kung paano ito malulutas. Sa kasamaang palad, sa sandaling malaman mo kung ano ang gagawin, kakailanganin mo lamang ng pangunahing mga kasanayan sa matematika (at kung minsan ang kaunting kaalaman) upang malutas ang problema. Kung kinakailangan, o kung ikaw ay isang visual na mag-aaral, alamin kung paano i-grap din ang mga equation. Ang graphing (paglalagay) ng isang grap ay maaaring maging kapaki-pakinabang upang "makita kung ano ang nangyayari," o upang suriin ang iyong trabaho, ngunit maaari rin itong maging mas mabagal kaysa sa iba pang mga pamamaraan at hindi ito gumagana sa lahat ng mga sistema ng equation.

Upang humakbang

Paraan 1 ng 3: Gamit ang pamamaraang pagpapalit

1. Ilipat ang mga variable sa iba't ibang panig ng equation. Ang pamamaraang "pagpapalit" na ito ay nagsisimula sa "paglutas para sa x" (o anumang iba pang variable) sa isa sa mga equation. Halimbawa, mayroon kaming mga sumusunod na equation: 4x + 2y = 8 at 5x + 3x = 9. Una sa lahat, tinitingnan namin ang unang paghahambing. Ayusin muli sa pamamagitan ng pagbawas ng 2y mula sa bawat panig, at makakakuha ka ng: 4x = 8-2y.
   • Ang pamamaraang ito ay madalas na gumagamit ng mga praksyon sa ibang yugto. Maaari mo ring gamitin ang paraan ng pag-aalis sa ibaba kung mas gusto mong hindi gumana sa mga praksyon.
2. Hatiin ang magkabilang panig ng equation upang malutas ang "x". Kapag mayroon ka ng katagang x (o anumang variable na ginagamit mo) sa isang bahagi ng equation, hatiin ang magkabilang panig ng equation upang ihiwalay ang variable. Halimbawa:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. I-plug ito muli sa iba pang mga equation. Siguraduhing bumalik sa Ang iba pa paghahambing, hindi ang nagamit mo na. Sa equation na iyon, pinalitan mo ang variable na nalutas mo, nag-iiwan lamang ng isang variable. Halimbawa:
   • Alam mo na ngayon: x = 2 - ½y.
   • Ang pangalawang equation, na hindi mo pa nababago, ay: 5x + 3x = 9.
   • Sa pangalawang equation, palitan ang x ng "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Malutas ang natitirang variable. Mayroon ka ngayong isang equation na may isang variable lamang. Gumamit ng mga karaniwang diskarte sa algebra upang malutas ang variable na iyon. Kung ang mga variable ay kinansela ang bawat isa, lumaktaw sa huling hakbang. Kung hindi man, nagtatapos ka sa isang sagot sa isa sa iyong mga variable:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Kung hindi mo naiintindihan ang hakbang na ito, alamin kung paano magdagdag ng mga praksyon. Ito ay madalas, ngunit hindi palaging, kinakailangan sa pamamaraang ito).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • y = -2
5. Gamitin ang sagot upang malutas ang iba pang variable. Huwag magkamali sa pagtatapos ng problema sa kalahati. Kailangan mong ipasok muli ang sagot na nakuha mo sa isa sa mga orihinal na equation upang malutas mo ang iba pang variable:
   • Alam mo na ngayon: y = -2
   • Ang isa sa mga orihinal na equation ay: 4x + 2y = 8. (Ang parehong mga equation ay maaaring magamit para sa hakbang na ito).
   • I-plug in -2 sa halip na y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Alamin kung ano ang gagawin kung ang parehong mga variable ay kanselahin ang bawat isa. Kapag ikaw x = 3y + 2 o makakuha ng isang katulad na sagot sa iba pang mga equation, sinusubukan mong makakuha ng isang equation na may isang variable lamang. Minsan nauwi ka sa isang equation sa halip wala variable. I-double check ang iyong trabaho, at tiyaking mapapalitan ang (muling pag-ayos) ng unang equation sa pangalawang equation, at hindi ang unang equation. Kung sigurado kang wala kang nagawang pagkakamali, makakakuha ka ng isa sa mga sumusunod na resulta:
   • Kung nagtapos ka sa isang equation na walang mga variable at alin ang hindi totoo (hal. 3 = 5), mayroon kang problema walang solusyon. (Kung na-graphed mo ang mga equation, makikita mo na ang mga ito ay parallel at hindi kailanman lumusot).
   • Kung nagtapos ka sa isang equation na walang mga variable, ngunit ang mga iyon well ay totoo (halimbawa, 3 = 3), kung gayon mayroon itong problema isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang dalawang mga equation ay eksaktong pantay. (Kung i-graph mo ang dalawang equation, makikita mo na eksaktong magkakapatong ang mga ito).

Paraan 2 ng 3: Paggamit ng pamamaraang pag-aalis

1. Natutukoy ang variable na tatanggalin. Minsan ang mga equation ay "aalisin" ang bawat isa sa isang variable sa sandaling idagdag mo ang mga ito nang magkasama. Halimbawa, kapag ginawa mo ang mga equation 3x + 2y = 11 at 5x - 2y = 13 pinagsasama, ang "+ 2y" at "-2y" ay magkakansela sa bawat isa, sa lahat ng "ytinanggal mula sa equation. Tingnan ang mga equation sa iyong problema upang malaman kung ang alinman sa mga variable ay aalisin sa ganitong paraan. Kung wala sa mga variable na tinanggal, basahin sa susunod na hakbang para sa payo.
2. Pag-multiply ng isang equation upang kanselahin ang isang variable. (Laktawan ang hakbang na ito kung ang mga variable ay natanggal na sa bawat isa). Kung wala sa mga variable sa mga equation ang nakansela mismo, kailangan mong baguhin ang isa sa mga equation upang magawa ito. Ito ang pinakamadaling maintindihan sa isang halimbawa:
   • Ipagpalagay na mayroon kang system ng mga equation 3x - y = 3 at -x + 2y = 4.
   • Baguhin natin ang unang equation upang ang variable ay y tinanggal. (Maaari mo ring gawin ito para sa X gawin at makuha ang parehong sagot).
   • Ang - y " ng unang equation ay dapat na tinanggal sa + 2y Sa pangalawang equation. Magagawa natin ito sa pamamagitan ng - y i-multiply ng 2.
   • Pinarami namin ang magkabilang panig ng unang equation ng 2, tulad ng sumusunod: 2 (3x - y) = 2 (3), at sa gayon 6x - 2y = 6. Ngayon ay gagawin - 2y malayo laban sa + 2y sa pangalawang equation.
3. Pagsamahin ang dalawang mga equation. Upang maisama ang dalawang mga equation, idagdag ang kaliwa at kanang mga gilid nang magkasama. Kung naisulat mo nang tama ang equation, ang isa sa mga variable ay dapat na kanselahin laban sa isa pa. Narito ang isang halimbawa ng paggamit ng parehong mga equation bilang huling hakbang:
   • Ang iyong mga equation ay: 6x - 2y = 6 at -x + 2y = 4.
   • Pagsamahin ang mga kaliwang panig: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Pagsamahin ang mga kanang bahagi: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Malutas ang huling variable. Pasimplehin ang pinagsamang equation at pagkatapos ay gumamit ng pangunahing algebra upang malutas ang huling variable. Kung walang natitirang mga variable pagkatapos ng pagpapagaan, magpatuloy sa huling hakbang sa seksyong ito. Kung hindi man, dapat kang magtapos sa isang simpleng sagot sa isa sa iyong mga variable. Halimbawa:
   • Mayroon kang: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Pangkatin ang mga variable X at y kasama ang isat-isa: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Pasimplehin: 5x = 10
   • Malutas para sa x: (5x) / 5 = 10/5, kaya't x = 2.
5. Malutas ang iba pang mga variable. Natagpuan mo ang isang variable, ngunit hindi ka pa masyadong tapos. Palitan ang iyong sagot sa isa sa mga orihinal na equation upang malutas mo ang iba pang variable. Halimbawa:
   • Alam mo iyon x = 2, at ang isa sa iyong orihinal na mga equation 3x - y = 3 ay
   • I-plug in 2, sa halip na x: 3 (2) - y = 3.
   • Malutas mo ang y sa equation: 6 - y = 3
   • 6 - y + y = 3 + y, ganun 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Alamin kung ano ang gagawin kapag ang parehong mga variable ay kinansela ang bawat isa. Minsan ang pagsasama-sama ng dalawang mga equation ay nagreresulta sa isang equation na walang kahulugan o hindi makakatulong sa iyo na malutas ang problema. I-double check ang iyong trabaho mula sa simula, ngunit kung hindi ka nagkamali, isulat ang isa sa mga sumusunod na sagot:
   • Kung ang iyong pinagsamang equation ay walang mga variable at hindi totoo (tulad ng 2 = 7) kung gayon mayroong walang solusyon na humahawak para sa parehong mga equation. (Kung i-graph mo ang parehong mga equation, makikita mo na ang mga ito ay parallel at hindi kailanman lumusot).
   • Kung ang iyong pinagsamang equation ay walang mga variable at totoo (tulad ng 0 = 0), kung gayon may mga isang walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang dalawang mga equation ay talagang magkapareho. (Kung mailalagay mo ang mga ito sa isang graph, makikita mo na ganap silang magkakapatong sa bawat isa).

Paraan 3 ng 3: I-graphic ang mga equation

1. Gamitin lamang ang pamamaraang ito kapag tinukoy. Maliban kung gumagamit ka ng isang computer o isang graphing calculator, maraming mga system ng mga equation ang maaari lamang malutas sa paggamit ng pamamaraang ito. Maaaring hilingin sa iyo ng iyong guro o aklat sa matematika na gamitin ang pamamaraang ito, kaya marahil ay pamilyar ka sa mga graphic na equation tulad ng mga linya. Maaari mo ring gamitin ang pamamaraang ito upang suriin kung ang iyong mga sagot mula sa alinman sa iba pang mga pamamaraan ay tama.
   • Ang pangunahing ideya ay ang pagguhit mo ng parehong mga equation at tukuyin ang punto kung saan sila intersect. Ang mga halagang x at y sa puntong ito ay nagbibigay ng halaga ng x at ang halaga ng y sa system ng mga equation.
2. Malutas ang parehong mga equation para sa y. Panatilihing magkahiwalay ang dalawang equation, at gumamit ng algebra upang i-convert ang bawat equation sa form na "y = __x + __". Halimbawa:
   • Ang unang equation ay: 2x + y = 5. Palitan ito sa: y = -2x + 5.
   • Ang pangalawang equation ay: -3x + 6y = 0. Baguhin ito sa 6y = 3x + 0, at gawing simple upang y = ½x + 0.
   • Pareho ba ang mga equation, pagkatapos ang buong linya ay nagiging isang "intersection point". Isulat: walang katapusang mga solusyon.
3. Gumuhit ng isang coordinate system. Gumuhit ng isang patayong "y-axis" at isang pahalang na "x-axis" sa isang sheet ng papel na grap. Magsimula sa puntong dumadaloy ang mga linya, at lagyan ng label ang mga bilang na 1, 2, 3, 4, atbp hanggang sa y axis at pakanan ulit kasama ang x axis. Lagyan ng marka ang mga bilang na -1, -2, atbp. Kasama ang y axis pababa at sa kaliwa kasama ang x axis.
   • Kung wala kang graph paper, gumamit ng isang pinuno upang matiyak na ang mga numero ay pantay na spaced.
   • Kung gumagamit ka ng malalaking numero o decimal na lugar, maaaring kailanganin mong sukatin ang tsart. (Halimbawa 10, 20, 30 o 0.1, 0.2, 0.3 sa halip na 1, 2, 3).
4. Iguhit ang interseksyon ng y para sa bawat linya. Kapag mayroon kang isang equation sa form y = __x + __ maaari mong simulan ang graphing ito sa pamamagitan ng pagse-set up ng isang punto kung saan ang linya ay naharang ang y-axis. Ito ay laging nasa isang y halaga, katumbas ng huling numero sa equation na ito.
   • Sa mga naunang nabanggit na halimbawa, isang linya (y = -2x + 5) sa y-axis 5. Ang iba pang mga linya (y = ½x + 0) dumadaan sa zero point 0. (Ito ang mga puntos (0.5) at (0.0) sa grap).
   • Ipahiwatig ang bawat linya na may magkakaibang kulay, kung maaari.
5. Gamitin ang slope upang ipagpatuloy ang pagguhit ng mga linya. Sa form y = __x + __, ay ang numero para sa x th dalisdis sa linya Sa bawat oras na x ay nadagdagan ng isa, ang halaga ng y ay tataas sa halaga ng slope. Gamitin ang impormasyong ito upang hanapin ang punto sa grap para sa bawat linya kapag x = 1. (Bilang kahalili, kapalit x = 1 para sa bawat equation at lutasin ang y).
   • Sa aming halimbawa, ang linya ay mayroon y = -2x + 5 isang slope ng -2. Sa x = 1 bumababa ang linya 2 pababa mula sa puntong x = 0. Iguhit ang segment ng linya sa pagitan ng (0.5) at (1.3).
   • Ang panuntunan y = ½x + 0ay may slope ng ½. Sa x = 1, pumupunta ang linya ½ pataas mula sa puntong x = 0. Iguhit ang segment ng linya sa pagitan ng (0,0) at (1, ½).
   • Kapag ang mga linya ay may parehong slope ang mga linya ay hindi kailanman makikipag-intersect, kaya walang solusyon para sa system ng mga equation. Isulat: walang solusyon.
6. Magpatuloy sa paglalagay ng mga linya hanggang sa lumusot. Huminto at tingnan ang iyong tsart. Kung ang mga linya ay tumawid na sa isa't isa, magpatuloy sa susunod na hakbang. Kung hindi man, gumawa ka ng desisyon batay sa kung ano ang ginagawa ng mga linya:
   • Habang gumagalaw ang mga linya patungo sa bawat isa, panatilihin mo ang mga puntos ng pagguhit sa direksyon na iyon.
   • Kung ang mga linya ay papalayo sa bawat isa, bumalik at gumuhit ng mga puntos sa iba pang direksyon, simula sa x = -1.
   • Kung ang mga linya ay hindi malapit sa bawat isa, tumalon nang maaga at magbalak ng mas malayo na mga point, tulad ng x = 10.
7. Hanapin ang sagot sa intersection ng mga linya. Kapag ang dalawang linya ay lumusot, ang mga halagang x at y sa puntong iyon ang solusyon sa problema. Kung ikaw ay mapalad, ang sagot ay magiging isang integer. Halimbawa, sa aming mga halimbawa, ang dalawang linya ay lumusot (2,1) ganun din ang sagot mo x = 2 at y = 1. Sa ilang mga sistema ng equation, ang mga linya ay mag-intersect sa isang halaga sa pagitan ng dalawang mga integer, at maliban kung ang iyong grap ay lubos na tumpak, mahirap sabihin kung saan ito. Kung ito ang kaso, maaari kang magbigay ng isang sagot tulad ng: "x ay nasa pagitan ng 1 at 2". Maaari mo ring gamitin ang paraan ng pagpapalit o paraan ng pag-aalis upang makita ang eksaktong sagot.

Mga Tip

• Maaari mong suriin ang iyong trabaho sa pamamagitan ng pagpasok ng mga sagot pabalik sa orihinal na mga equation. Kung ang mga equation ay totoo (halimbawa, 3 = 3), kung gayon ang iyong sagot ay tama.
• Sa pamamaraang pag-aalis, kailangan mong i-multiply ang isang equation sa pamamagitan ng isang negatibong numero upang matanggal ang isang variable.

Mga babala

• Ang mga pamamaraang ito ay hindi maaaring gamitin kung nakikipag-usap ka sa isang numero ng kuryente, tulad ng x. Upang matuto nang higit pa tungkol sa mga equation ng ganitong uri, kakailanganin mo ng isang gabay sa factor squaring na may dalawang variable.