Nilalaman

• Mga hakbang
• Mga Tip

Ang makatuwirang pagpapaandar ay may form na y = N (x) / D (x), kung saan ang N at D ay mga polynomial. Upang maayos ang balangkas ng naturang pag-andar, kailangan mo ng mahusay na kaalaman sa algebra, kabilang ang mga pagkalkula na naiiba. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa: y = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

Mga hakbang

1. 1 Hanapin ang y-intercept ng grap. Upang magawa ito, palitan ang x = 0 sa pagpapaandar at makuha ang y = 5/2. Kaya, ang punto ng intersection ng grap sa Y axis ay may mga coordinate (0, 5/2).Ilagay ang puntong ito sa koordinasyong eroplano.
2. 2 Hanapin ang pahalang na mga asymptote. Hatiin ang numerator sa denominator (sa isang haligi) upang matukoy ang pag-uugali ng "y" na may mga halagang "x" na may gawi sa kawalang-hanggan. Sa aming halimbawa, ang paghahati ay magiging y = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). Para sa malaking positibo o negatibong mga halagang "x" 17 / (8x + 4) ay may gawi sa zero, at papalapit ang grap sa tuwid na linya na ibinigay ng pagpapaandar y = (1/2)x - (7/4). Gamit ang tuldok na linya, balangkas ang pagpapaandar na ito.
   • Kung ang degree ng numerator ay mas mababa sa degree ng denominator, pagkatapos ay hindi mo maaaring hatiin ang numerator sa pamamagitan ng denominator at ang asymptote ay ilalarawan ng pagpapaandar sa = 0.
   • Kung ang degree ng numerator ay katumbas ng degree ng denominator, kung gayon ang asymptote ay isang pahalang na linya na katumbas ng ratio ng mga coefficients sa "x" sa pinakamataas na degree.
   • Kung ang degree ng numerator ay 1 higit sa degree ng denominator, kung gayon ang asymptote ay isang hilig na tuwid na linya, ang slope nito ay katumbas ng ratio ng mga coefficients sa "x" sa pinakamataas na degree.
   • Kung ang degree ng numerator ay mas malaki kaysa sa degree ng denominator ng 2, 3, atbp, kung gayon para sa malalaking halaga |NS| ibig sabihin sa may posibilidad na walang katapusan (positibo o negatibo) sa anyo ng isang parisukat, kubiko o iba pang antas ng isang polynomial. Sa kasong ito, malamang, hindi mo kailangang bumuo ng isang eksaktong graph ng pagpapaandar na nakuha sa pamamagitan ng paghati sa numerator ng denominator.
3. 3 Hanapin ang mga zero ng pagpapaandar. Ang isang nakapangangatwiran na pagpapaandar ay may mga zero kung ang bilang nito ay zero, iyon ay, N (NS) = 0. Sa aming halimbawa, 2x - 6x + 5 = 0. Ang diskriminante ng quadratic equation na ito: b - 4ac = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Dahil ang diskriminante ay negatibo, pagkatapos N (NS), at samakatuwid ay F (NS) ay walang totoong mga ugat. Ang grap ng isang nakapangangatwiran na pag-andar ay hindi intersect ang X-axis.Kung ang pagpapaandar ay may mga zero (ugat), pagkatapos ay ilagay ang mga ito sa koordinasyong eroplano.
4. 4 Hanapin ang mga patayong asymptote. Upang magawa ito, itakda ang denominator sa zero. Sa aming halimbawa, 4x + 2 = 0 at NS = -1/2. I-plot ang patayong asymptote gamit ang tuldok na linya. Kung para sa ilang halaga NS N (NS) = 0 at D (NS) = 0, kung gayon ang patayong asymptote alinman ay umiiral o wala (ito ay isang bihirang kaso, ngunit mas mahusay na alalahanin ito).
5. 5 Tingnan ang natitirang numerator na hinati ng denominator. Positive ba ito, negatibo, o zero? Sa aming halimbawa, ang natitira ay 17, na positibo. Tagapahiwatig 4x + 2 positibo sa kanan ng patayong asymptote at negatibo sa kaliwa nito. Nangangahulugan ito na ang grapiko ng rational function para sa malaking positibong halaga NS lumalapit sa asymptote mula sa itaas, at para sa malalaking negatibong halaga NS - galing sa ibaba. Mula noong 17 / (8x Ang + 4) ay hindi kailanman katumbas ng zero, kung gayon ang grap ng pagpapaandar na ito ay hindi kailanman intersect ang tuwid na linya na tinukoy ng pagpapaandar sa = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Maghanap ng lokal na extrema. Ang isang lokal na sukdulan ay umiiral para sa N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0. Sa aming halimbawa, N ’(x) = 4x - 6 at D '(x) = 4. N ’(x) D (x) - N (x) D ’(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. Paglutas ng equation na ito, nahanap mo iyon x = 3/2 at x = -5/2. (Hindi ito ganap na tumpak na mga halaga, ngunit angkop ang mga ito para sa aming kaso kung hindi kinakailangan ng superprecision.)
7. 7 Hanapin ang halaga sa para sa bawat lokal na sukdulan. Upang magawa ito, palitan ang mga halaga NS sa orihinal na makatuwiran na pagpapaandar. Sa aming halimbawa, f (3/2) = 1/16 at f (-5/2) = -65/16. Itabi ang mga puntos (3/2, 1/16) at (-5/2, -65/16) sa koordinasyong eroplano. Dahil ang mga kalkulasyon ay batay sa tinatayang mga halaga (mula sa nakaraang hakbang), ang minimum at maximum na nahanap ay hindi rin ganap na tumpak (ngunit marahil ay napakalapit sa eksaktong mga halaga). (Ang puntong (3/2, 1/16) ay napakalapit sa lokal na minimum. Simula sa hakbang 3, alam natin na sa laging positibo para sa NS> -1/2, at nakakita kami ng isang maliit na halaga (1/16); sa gayon, ang halaga ng error ay napakaliit sa kasong ito.)
8. 8 Ikonekta ang mga nakabinbing puntos at maayos na palawakin ang graph sa mga asymptote (huwag kalimutan ang tungkol sa tamang direksyon ng grap na papalapit sa mga asymptote). Tandaan na ang grap ay hindi dapat tumawid sa X-axis (tingnan ang hakbang 3). Ang grap ay hindi rin intersect sa pahalang at patayong asymptotes (tingnan ang hakbang 5). Huwag baguhin ang direksyon ng tsart maliban sa matinding mga puntos na natagpuan sa nakaraang hakbang.

Mga Tip

• Kung sinunod mo ang mga hakbang sa itaas nang mahigpit sa pagkakasunud-sunod, kung gayon hindi kailangang kalkulahin ang pangalawang derivatives (o katulad na mga kumplikadong dami) upang subukan ang iyong solusyon.
• Kung hindi mo kailangang kalkulahin ang mga halaga ng dami, maaari mong palitan ang paghahanap ng lokal na extrema sa pamamagitan ng pagkalkula ng ilang karagdagang mga pares ng mga coordinate (NS, sa) sa pagitan ng bawat pares ng asymptotes. Bukod dito, kung wala kang pakialam kung paano gumagana ang inilarawan na pamamaraan, kung gayon huwag magulat kung bakit hindi mo mahahanap ang hinalang at malutas ang equation na N '(x) D (x) - N (x) D ’(x) = 0.
• Sa ilang mga kaso, kakailanganin mong gumana kasama ang mas mataas na mga polynomial na order. Kung hindi mo mahahanap ang eksaktong solusyon gamit ang factorization, formula, atbp., Pagkatapos ay tantyahin ang mga posibleng solusyon gamit ang mga pamamaraang numerikal tulad ng pamamaraan ni Newton.
• Sa mga bihirang kaso, ang numerator at denominator ay nagbabahagi ng isang karaniwang variable factor. Ayon sa mga hakbang na inilarawan, hahantong ito sa zero at isang patayong asymptote sa parehong lugar. Gayunpaman, hindi ito posible, at ang paliwanag ay isa sa mga sumusunod:
  • Zero sa N (NS) ay may isang mas mataas na multiplicity kaysa sa zero sa D (NS). Grap F (NS) ay may gawi sa zero sa puntong ito, ngunit hindi tinukoy doon. Ipahiwatig ito sa pamamagitan ng pagguhit ng isang bilog sa paligid ng punto.
  • Zero sa N (NS) at zero sa D (NS) magkaroon ng parehong multiplicity. Papalapit ang grap sa ilang di-zero point sa halagang ito NSngunit hindi tinukoy dito. Ipahiwatig ito sa pamamagitan ng pagguhit ng isang bilog sa paligid ng punto.
  • Zero sa N (NS) ay may isang mas mababang multiplicity kaysa sa zero sa D (NS). Mayroong isang patayong asymptote dito.