Nilalaman

• Mga hakbang
• Bahagi 1 ng 3: Mga Pagsubok ng Pagkasimple
• Bahagi 2 ng 3: Paano Gumagawa ang Mga Pagsubok sa Pagkasimple
• Bahagi 3 ng 3: Paggamit ng Teoryang Remainder ng Tsino
• Mga Tip
• Ano'ng kailangan mo

Ang mga punong numero ay mga numero na hindi lamang nahahati sa kanilang mga sarili at ng 1. Ang lahat ng iba pang mga numero ay tinatawag na mga bilang na pinaghalo. Mayroong maraming mga paraan upang matukoy kung ang isang numero ay kalakasan, at lahat sila ay may kani-kanilang mga kalamangan at dehado. Sa isang banda, ang ilan sa mga pamamaraan ay napaka-tumpak, ngunit ang mga ito ay medyo kumplikado kung nakikipag-usap ka sa maraming mga numero. Sa kabilang banda, maraming mga mas mabilis na paraan, ngunit maaari silang humantong sa mga hindi tamang resulta. Ang pagpili ng naaangkop na pamamaraan ay nakasalalay sa kung gaano kalaki ang mga numero na iyong pinagtatrabaho.

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 3: Mga Pagsubok ng Pagkasimple

Tandaan: sa lahat ng mga formula n nagsasaad ng bilang na susuriin.

1. 1 Pag-bilang ng mga divisor. Ito ay sapat na upang hatiin n sa lahat ng pangunahing numero mula 2 hanggang sa bilugan na halaga (${ displaystyle { sqrt {n}}}$).
2. 2 Ang maliit na teorama ng Fermat. Babala: kung minsan ang pagsubok ay maling makikilala ang mga bilang ng pinaghalo bilang pangunahing, kahit na para sa lahat ng mga halaga ng a.
   • Pumili tayo ng isang integer atulad ng 2 ≤ a ≤ n - 1.
   • Kung ang isang (mod n) = a (mod n) kung gayon ang numero ay marahil pangunahing. Kung ang pagkakapantay-pantay ay hindi nasiyahan, ang bilang n ay pinaghalo.
   • Suriin ang ibinigay na pagkakapantay-pantay para sa maraming mga halaga aupang madagdagan ang posibilidad na ang bilang na sinusubukan ay talagang kalakasan.
3. 3 Pagsubok ni Miller-Rabin. Babala: minsan, bagaman bihira, para sa maraming halaga ng a, ang pagsubok ay maling makikilala ang mga bilang ng pinaghalo bilang pangunahing.
   • Hanapin ang mga dami s at d tulad nito ${ displaystyle n-1 = 2 ^ {s} * d}$.
   • Pumili ng isang integer a sa saklaw na 2 ≤ a ≤ n - 1.
   • Kung ang isang = +1 (mod n) o -1 (mod n), kung gayon ang n ay marahil pangunahing. Sa kasong ito, pumunta sa resulta ng pagsubok. Kung ang pagkakapantay-pantay ay hindi hawakan, pumunta sa susunod na hakbang.
   • Itapat ang iyong sagot (${ displaystyle a ^ {2d}}$). Kung nakakuha ka ng -1 (mod n), kung gayon ang n ay marahil isang pangunahing numero. Sa kasong ito, pumunta sa resulta ng pagsubok. Kung nabigo ang pagkakapantay-pantay, ulitin (${ displaystyle a ^ {4d}}$ at iba pa) hanggang ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d}}$.
   • Kung sa ilang mga hakbang pagkatapos ng pag-square ng isang numero maliban sa ${ displaystyle pm 1}$ (mod n), nakakuha ka ng +1 (mod n), kaya't ang n ay isang pinaghalong numero. Kung ${ displaystyle a ^ {2 ^ {s-1} d} neq pm 1}$ (mod n), kung gayon ang n ay hindi kalakasan.
   • Resulta ng pagsubok: kung n pumasa sa pagsubok, ulitin ito para sa iba pang mga halaga aupang madagdagan ang kumpiyansa.

Bahagi 2 ng 3: Paano Gumagawa ang Mga Pagsubok sa Pagkasimple

1. 1 Pag-bilang ng mga divisor. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang bilang n ay simple lamang kung hindi ito mahahati ng 2 at iba pang mga integer maliban sa 1 at mismo. Pinapayagan ka ng formula sa itaas na alisin ang mga hindi kinakailangang hakbang at makatipid ng oras: halimbawa, pagkatapos suriin kung ang isang numero ay nahahati sa 3, hindi na kailangang suriin kung nahahati ito sa 9.
   • Ang pag-andar ng sahig (x) ay bilog x sa pinakamalapit na integer na mas mababa sa o katumbas ng x.
2. 2 Alamin ang tungkol sa modular arithmetic. Ang operasyon na "x mod y" (mod ay isang pagpapaikli ng salitang Latin na "modulo", iyon ay, "module") ay nangangahulugang "hatiin x ng y at hanapin ang natitira." Sa madaling salita, sa modular arithmetic, sa pag-abot sa isang tiyak na halaga, na kung tawagin ay modyul, ang mga numero ay "nagiging" muli sa zero. Halimbawa, ang orasan ay binibilang ng module 12: nagpapakita ito ng 10, 11 at 12 na oras, at pagkatapos ay babalik sa 1.
   • Maraming mga calculator ang may isang mod key. Ipinapakita sa iyo ng pagtatapos ng seksyon na ito kung paano manu-manong kalkulahin ang pagpapaandar na ito para sa malalaking numero.
3. 3 Alamin ang tungkol sa mga pitfalls ng Little Theorem ng Fermat. Ang lahat ng mga numero kung saan hindi natutugunan ang mga kundisyon ng pagsubok ay pinaghalo, ngunit ang natitirang mga numero ay lamang malamang ay simple. Kung nais mong maiwasan ang mga maling resulta, maghanap n sa listahan ng "mga numero ng Carmichael" (mga numero ng pinaghalong nagbibigay-kasiyahan sa pagsubok na ito) at "Mga numero ng Fermat pseudoprime" (natutugunan lamang ng mga numerong ito ang mga kundisyon sa pagsubok para lamang sa ilang mga halaga a).
4. 4 Kung maginhawa, gamitin ang pagsubok na Miller-Rabin. Bagaman masalimuot ang pamamaraang ito para sa manu-manong mga kalkulasyon, madalas itong ginagamit sa mga programa sa computer. Nagbibigay ito ng katanggap-tanggap na bilis at mas kaunting mga error kaysa sa pamamaraan ng Fermat. Ang isang pinaghalong numero ay hindi kukunin bilang isang pangunahing numero kung ang mga kalkulasyon ay ginaganap para sa higit sa mga ¼ halaga a... Kung random na pipiliin mo ang iba't ibang mga halaga a at para sa kanilang lahat ang pagsubok ay magbibigay ng isang positibong resulta, maaari nating ipalagay na may isang mataas na antas ng kumpiyansa na n ay isang pangunahing numero.
5. 5 Para sa malalaking numero, gumamit ng modular arithmetic. Kung wala kang madaling gamiting mod calculator, o ang calculator ay hindi idinisenyo upang hawakan ang mga malalaking numero, gumamit ng mga katangian ng kuryente at modular arithmetic upang gawing mas madali ang mga kalkulasyon. Nasa ibaba ang isang halimbawa para sa ${ displaystyle 3 ^ {50}}$ mod 50:
   • Isulat muli ang expression sa isang mas maginhawang form: ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50. Ang mga manu-manong pagkalkula ay maaaring mangailangan ng karagdagang mga pagpapasimple.
   • ${ displaystyle (3 ^ {25} * 3 ^ {25})}$ mod 50 = ${ displaystyle (3 ^ {25}}$ mod 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50. Dito isinasaalang-alang namin ang pag-aari ng modular multiplication.
   • ${ displaystyle 3 ^ {25}}$ mod 50 = 43.
   • ${ displaystyle (3 ^ {25}}$ mod 50 ${ displaystyle * 3 ^ {25}}$ mod 50) mod 50 = ${ displaystyle (43 * 43)}$ mod 50.
   • ${ displaystyle = 1849}$ mod 50.
   • ${ displaystyle = 49}$.

Bahagi 3 ng 3: Paggamit ng Teoryang Remainder ng Tsino

1. 1 Pumili ng dalawang numero. Ang isa sa mga numero ay dapat na pinaghalo, at ang isa ay dapat na eksaktong ang nais mong subukan para sa pagiging simple.
   • Bilang1 = 35
   • Bilang2 = 97
2. 2 Pumili ng dalawang halagang higit sa zero at, ayon sa pagkakabanggit, mas mababa sa mga bilang na Number1 at Number2. Ang mga halagang ito ay hindi dapat pareho.
   • Halaga1 = 1
   • Halaga2 = 2
3. 3 Kalkulahin ang MMI (Matematika Multiplicative Inverse) para sa Bilang1 at Bilang2.
   • Kalkulahin ang MMI
     • MMI1 = Bilang2 ^ -1 Mod Number1
     • MMI2 = Number1 ^ -1 Mod Number2
   • Para sa mga pangunahing numero lamang (magbibigay ito ng isang numero para sa mga pinaghalong numero, ngunit hindi ito ang magiging MMI niya):
     • MMI1 = (Bilang2 ^ (Bilang1-2))% Bilang1
     • MMI2 = (Bilang1 ^ (Bilang2-2))% Bilang2
   • Halimbawa:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. 4 Lumikha ng isang talahanayan para sa bawat MMI pababa upang mag-log2 na mga module:
   • Para sa MMI1
     • F (1) = Bilang2% Bilang1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number1 = 1 * 1% 35 = 1
   • Kalkulahin ang Mga Pares na Bilang 1 - 2
     • 35 -2 = 33 (10001) batayan 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 mod 35
     • MMI1 = 27
   • Para sa MMI2
     • F (1) = Bilang1% Bilang2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% Number2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% Number2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • Kalkulahin ang Ipares na Bilang 2 - 2
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) base 2
     • MMI2 = ((((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = ((((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. 5 Kalkulahin (Value1 * Number2 * MMI1 + Value2 * Number1 * MMI2)% (Number1 * Number2)
   • Sagot = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • Sagot = (2619 + 4270)% 3395
   • Sagot = 99
6. 6 Suriin na ang Number1 ay hindi kalakasan
   • Kalkulahin (Sagot - Halaga1)% Bilang1
   • 99 – 1 % 35 = 28
   • Dahil ang 28 ay mas malaki sa 0, 35 ay hindi isang pangunahing numero.
7. 7 Suriin na ang Number2 ay pangunahing.
   • Kalkulahin (Sagot - Halaga2)% Bilang2
   • 99 – 2 % 97 = 0
   • Dahil ang 0 ay 0, ang 97 ay malamang na isang pangunahing numero.
8. 8 Ulitin ang mga hakbang 1 hanggang 7 kahit dalawang beses pa.
   • Kung nakakuha ka ng 0 sa hakbang 7:
     • Gumamit ng ibang Number1 kung ang Number1 ay hindi pangunahin.
     • Gumamit ng isa pang Number1 kung ang Number1 ay kalakasan. Sa kasong ito, dapat kang makakuha ng 0 sa mga hakbang 6 at 7.
     • Gumamit ng iba't ibang Kahulugan1 at Kahulugan2.
   • Kung sa hakbang 7 na patuloy kang nakakakuha ng 0, kung gayon ang Numero 2 ay malamang na maging pangunahing.
   • Ang mga hakbang 1 hanggang 7 ay maaaring magresulta sa isang error kung ang Number1 ay hindi kalakasan at ang Number2 ay isang tagahati ng Number1. Ang inilarawan na pamamaraan ay gumagana sa lahat ng mga kaso kung ang parehong numero ay pangunahing.
   • Ang dahilan kung bakit kailangan mong ulitin ang mga hakbang 1 hanggang 7 ay dahil sa ilang mga kaso, kahit na ang Number1 at Number 2 ay hindi pangunahing, sa hakbang 7 makakakuha ka ng 0 (para sa isa o parehong numero). Bihira itong mangyari.Pumili ng isa pang Number1 (pinaghalo), at kung ang Number2 ay hindi kalakasan, pagkatapos ang Number2 ay hindi katumbas ng zero sa hakbang 7 (maliban sa kaso kapag ang Number1 ay isang tagahati ng Number2 - dito ang mga prime ay palaging pantay na zero sa hakbang 7).

Mga Tip

• Mga punong numero mula 168 hanggang 1000: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79 , 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211 , 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359 , 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509 , 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673 , 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853 , 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997.
• Bagaman ang pagsubok sa malupit na puwersa ay isang nakakapagod na pagsubok kapag nagtatrabaho nang may malaking bilang, ito ay lubos na mabisa para sa maliliit na numero. Kahit na sa kaso ng malalaking numero, magsimula sa pamamagitan ng pagsubok ng maliliit na divisors, at pagkatapos ay magpatuloy sa mas sopistikadong mga pamamaraan para sa pag-check sa pagiging simple ng mga numero (kung ang mga maliit na divisor ay hindi matatagpuan).

Ano'ng kailangan mo

• Papel, bolpen o computer