Nilalaman

• Upang humakbang
• Bahagi 1 ng 3: Ang mga pangunahing kaalaman sa pagtatasa
• Bahagi 2 ng 3: Maunawaan ang mga derivatives
• Bahagi 3 ng 3: Maunawaan ang mga integral
• Mga Tip

Ang pagtatasa (tinatawag ding calculus) ay isang sangay ng matematika na nakatuon sa mga limitasyon, pag-andar, derivatives, integral at walang katapusang serye. Saklaw ng paksang ito ang napakaraming matematika, at pinagbabatayan ang maraming mga formula at equation na ginamit sa pisika at mekanika. Malamang kakailanganin mong magkaroon ng maraming taon ng matematika sa high school upang maunawaan nang maayos ang pagtatasa, ngunit ang artikulong ito ay magsisimula ka sa pag-alam na kilalanin ang mga pangunahing konsepto pati na rin ang isang mas mahusay na pag-unawa sa teorya.

Upang humakbang

Bahagi 1 ng 3: Ang mga pangunahing kaalaman sa pagtatasa

1. Ang pagsusuri ay ang pag-aaral kung paano nagbabago ang mga bagay. Ang pagtatasa ay isang sangay ng matematika na sumusuri sa mga numero at grap, na karaniwang kinukuha mula sa data sa totoong mundo, at ipinapaliwanag kung paano sila nagbabago. Habang hindi ito mukhang napaka kapaki-pakinabang sa una, ang pagtatasa ay isa sa pinakakaraniwang ginagamit na mga sangay ng matematika. Pag-isipan ang pagkakaroon ng mga tool upang sabihin sa iyo kung gaano kabilis ang paglaki ng iyong negosyo sa anumang naibigay na oras, o kung paano i-tsart ang kurso ng isang sasakyang pangalangaang, at kung gaano kabilis natapos ang gasolina nito. Ang pagsusuri ay isang mahalagang tool sa engineering, ekonomiya, istatistika, kimika at pisika, at nag-ambag sa maraming mga imbensyon at tuklas.
2. Ang mga pagpapaandar ay mga ugnayan sa pagitan ng dalawang numero at ginagamit para sa mga pakikipag-ugnay sa pagmamapa. Ang mga ito ay panuntunan para sa ugnayan sa pagitan ng mga numero, at ginagamit ito ng mga matematiko upang gumawa ng mga graphic. Sa isang pagpapaandar, ang bawat input ay may eksaktong isang kinalabasan. Halimbawa: sa ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Isipin ang tungkol sa konsepto ng infinity. Ang infinity ay ang patuloy na pag-uulit ng isang proseso. Ito ay hindi isang tukoy na lugar (hindi ka maaaring pumunta sa infinity), ngunit sa halip ang pag-uugali ng isang numero o equation, kung tapos na magpakailanman. Ito ay mahalaga para sa pag-aaral ng pagbabago: baka gusto mong malaman kung gaano kabilis ang paggalaw ng iyong sasakyan sa anumang naibigay na oras, ngunit ganoon kabilis ang paggalaw ng iyong sasakyan sa kasalukuyang segundo? Millisecond? Nanosecond? Maaari kang makahanap ng walang katapusang mas maliit na mga tipak ng oras upang maging mas tumpak, at doon dumating ang pagsusuri.
3. Maunawaan ang konsepto ng mga limitasyon. Sasabihin sa iyo ng isang limitasyon kung ano ang nangyayari kapag may lumalapit sa kawalang-hanggan. Kunin ang bilang 1 at hatiin ito sa 2. Patuloy na hatiin ng 2 nang paulit-ulit. Ang 1 ay nagiging 1/2 at pagkatapos ay 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, atbp. Sa tuwing lumiliit at lumiliit ang bilang, "malapit sa" zero. Ngunit saan ito titigil? Ilang beses mo kailangang hatiin ang 1 sa 2 upang makakuha ng zero? Sa halip na sagutin ang katanungang ito, sa pagtatasa ay nagtakda ka ng isa hangganan Sa kasong ito, ang limitasyon ay.
   • Ang mga limitasyon ay ang pinakamadaling mailarawan sa isang grapiko - halimbawa, may mga puntos bang halos hawakan ng isang grap, ngunit hindi talaga?
   • Ang mga limitasyon ay maaaring bilang, walang hanggan o kahit wala. Halimbawa, sa pagkakasunud-sunod ng karagdagan 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... at ito ay nagpapatuloy nang walang katiyakan, ang panghuling numero ay nagiging walang hanggan na malaki. Ang hangganan pagkatapos ay magiging walang hanggan.
4. Suriin ang mahahalagang konsepto ng matematika ng algebra, trigonometry, at ang mga pangunahing kaalaman sa matematika. Ang pagsusuri ay nakasalalay sa karamihan ng natutunan mong matematika dati. Ang pagiging mahusay na kaalaman tungkol sa lahat ng mga paksa ay ginagawang mas madali upang malaman at maunawaan ang pagtatasa. Ang ilang mga paksang pinagsisikapan ay:
   • Algebra. Kailangan mong maunawaan ang iba't ibang mga proseso at malulutas ang mga equation at system ng mga equation na may maraming mga variable. Maunawaan ang mga pangunahing kaalaman sa mga koleksyon. Magsanay sa paggawa ng mga grap.
   • Geometry. Ang Geometry ay pag-aaral ng mga hugis. Dapat ay mayroon kang pangunahing kaalaman sa mga triangles, parihaba, at bilog, at kung paano makalkula ang mga bagay tulad ng perimeter at lugar. Maunawaan ang mga anggulo, linya at koordinasyon
   • Trigonometry. Ang Trigonometry ay ang sangay ng matematika na tumatalakay sa mga pag-aari ng mga bilog at kanang mga tatsulok. Alamin kung paano gamitin ang mga pagkakakilanlan ng trigonometric, mga graph, pagpapaandar, at mga pabaliktad na pag-andar ng trigonometric.
5. Bumili ng calculator ng graphing. Ang pag-aaral ay hindi madaling maunawaan nang hindi mo nakikita kung ano ang iyong ginagawa. Gumagawa ang mga calculator ng graphing ng paggana ng visual upang mas mahusay mong maunawaan kung anong mga equation ang iyong hinaharap. Kadalasan ang mga limitasyon ay ipinapakita rin sa screen, at ang mga derivatives at pag-andar ay awtomatikong kinakalkula.
   • Maraming mga smartphone at tablet ngayon ang nag-aalok ng mura ngunit mabisang graphing apps kung ayaw mo o hindi makakabili ng calculator ng graphing.

Bahagi 2 ng 3: Maunawaan ang mga derivatives

1. Ginagamit ang pagsusuri upang pag-aralan ang "pagbabago sa isang tukoy na sandali". Alam kung bakit may nagbabago sa isang eksaktong sandali ay ang core ng pagtatasa. Halimbawa, binibigyan ka ng pagsusuri hindi lamang ang bilis ng isang kotse, ngunit kung gaano din ang pagbabago ng bilis sa anumang naibigay na oras. Ito ay isa sa pinakasimpleng paggamit ng pagtatasa, ngunit napakahalaga. Isipin kung gaano kahalaga ang naturang impormasyon sa pagtukoy ng bilis na kinakailangan upang makakuha ng sasakyang pangalangaang sa buwan!
   • Natutukoy ang pagbabago sa isang partikular na punto ng oras iba-iba. Ang pagkita ng kaibhan ay ang una sa dalawang pangunahing mga sangay ng pagtatasa.
2. Gumamit ng mga derivatives upang maunawaan kung paano nagbabago ang mga bagay sa isang naibigay na oras. Ang "hango" ay isang magandang salita para sa isang bagay na madalas na kinakabahan ang mga mag-aaral. Gayunpaman, ang konsepto mismo ay hindi mahirap unawain - nangangahulugan lamang ito ng "kung gaano kabilis may nagbabago." Ang mga derivatives na makakasalamuha mo sa araw-araw na buhay ay may kinalaman sa bilis. Gayunpaman, karaniwang hindi mo ito tinawag na "hango ng bilis", ngunit simpleng "pagbilis."
   • Ang pagpabilis ay isang hango - sasabihin sa iyo kung gaano kabilis ang isang bagay ay nagpapabilis o nagpapabagal, o kung paano nagbabago ang bilis nito.
3. Alamin na ang rate ng pagbabago ay katumbas ng slope sa pagitan ng dalawang puntos. Ito ang isa sa pinakamahalagang tuklas ng pagsusuri. Ang rate ng pagbabago sa pagitan ng dalawang puntos ay katumbas ng slope ng linya sa pagitan ng dalawang puntos na iyon. Isipin lamang ang isang simpleng linya, tulad ng equation ${ displaystyle y = 3x.}$Alamin na maaari mong matukoy ang slope ng mga hubog na linya. Ang pagtukoy ng slope ng isang tuwid na linya ay medyo madali: kung magkano ang mga pagbabago ${ displaystyle y}$Kung nais mong kalkulahin ang pagbabago nang mas tumpak, siguraduhin na ang mga puntos ay mas malapit sa bawat isa. Kung mas malapit mong mapili ang dalawang puntos, mas tumpak ang iyong sagot. Ipagpalagay na nais mong malaman kung magkano ang bilis ng iyong sasakyan kapag pinindot mo ang accelerator. Hindi mo nais na sukatin ang pagbabago ng bilis sa pagitan ng iyong bahay at ng supermarket, ngunit ang pagbabago ng bilis mula sa sandaling na-hit mo ang accelerator. Kung mas malapit ang iyong pagbabasa sa split segundo na iyon, mas tumpak ang iyong pagkalkula ng pagbabago.
   • Halimbawa, iniimbestigahan ng mga siyentista kung gaano kabilis nawala ang ilang mga species upang mai-save sila. Gayunpaman, maraming mga hayop ang namamatay sa taglamig kaysa sa tag-araw, kaya't hindi kapaki-pakinabang na pag-aralan ang rate ng pagbabago sa buong taon - mas mahusay na matukoy ang rate ng pagbabago sa loob ng isang mas maliit na panahon, tulad ng mula Hulyo 1 hanggang 1 Agosto.
4. Gumamit ng mga walang katapusang maikling linya upang matukoy ang "instant na rate ng pagbabago," o hanapin ang hinalang. Dito madalas na nakakakuha ng malito ang pagtatasa, ngunit ito talaga ang resulta ng dalawang simpleng katotohanan. Una sa lahat, alam mo na ang slope ng isang linya ay katumbas ng kung gaano kabilis ang pagbabago ng linya na iyon. Pangalawa, alam mo na kung mas malapit ang mga puntos ng linya sa bawat isa, mas tumpak ang magiging pagbabasa. Ngunit paano mo mahahanap ang rate ng pagbabago sa isang naibigay na punto kung ang slope ay ang ugnayan sa pagitan ng dalawang puntos? Ang sagot: Pumili ka ng dalawang puntos na walang katapusan na malapit sa bawat isa.
   • Isaalang-alang ang halimbawa kung saan patuloy kang naghahati ng 1 sa 2, sa gayon nakakakuha ng 1/2, 1/4, 1/8, atbp. Kaya't sa huli lumapit ka sa zero, at ang sagot ay "halos zero". Ang mga puntos ay napakalapit sa bawat isa na sila ay "halos pantay sa bawat isa". Ito ang likas na katangian ng mga derivatives.
5. Alamin kung paano matukoy ang iba't ibang mga derivatives. Mayroong isang tonelada ng iba't ibang mga diskarte para sa paghahanap ng isang hango depende sa equation, ngunit karamihan sa mga ito ay may katuturan kung kabisado mo ang mga pangunahing kaalaman ng mga derivatives sa itaas. Ang lahat ng mga derivatives ay isang paraan ng paghanap ng slope ng isang "infinitesimal" na linya. Ngayong alam mo nang higit pa tungkol sa derivative theory, karamihan sa gawain ay ang paghahanap ng mga sagot.
6. Hanapin ang mga nakuhang equation upang mahulaan ang rate ng pagbabago sa anumang oras. Kapaki-pakinabang na gumamit ng mga derivatives upang matukoy ang rate ng pagbabago sa anumang naibigay na oras, ngunit ang kagandahan ng pagsusuri ay maaari kang lumikha ng isang bagong modelo para sa anumang pagpapaandar. Ang hinalang ng ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Kung nahihirapan kang maintindihan ito, subukang alalahanin ang mga halimbawa ng derivatives sa totoong buhay. Ang pinakasimpleng halimbawa ay batay sa bilis, na sumasaklaw sa maraming iba't ibang mga derivatives na nakakaharap namin araw-araw. Huwag kalimutan: ang isang hango ay isang sukatan kung gaano kabilis may nagbabago. Mag-isip ng isang simpleng eksperimento. Gumulong ka ng isang marmol sa isang mesa at sinusukat kung gaano kalayo ang paggalaw nito at kung gaano kabilis bawat oras. Ngayon isipin na ang rolling marmol ay sumusunod sa isang linya sa isang graph - gumagamit ka ng mga derivatives upang masukat ang mga instant na pagbabago sa anumang oras sa linyang iyon.
   • Gaano kabilis ang paggalaw ng marmol? Sa anong bilis nagbabago ang posisyon (o nagmula) ng gumagalaw na marmol? Tinatawag namin itong hango na "bilis".
   • Igulong ang marmol sa isang slope at obserbahan kung paano nagbabago ang bilis. Ano ang rate ng pagbabago, o hango, ng bilis ng marmol? Ang derivative na ito ay ang tinatawag nating "acceleration".
   • Igulong ang marmol sa isang wavy track, tulad ng roller coaster. Hanggang saan nakakakuha ng bilis ang marmol kapag gumulong ito, at hanggang saan babagal ang marmol paakyat? Gaano kabilis ang marmol na eksaktong pupunta nang kalahating paakyat sa unang burol? Ito ang instant na rate ng pagbabago, o ang hinalang, ng marmol na iyon sa isang tukoy na puntong iyon.

Bahagi 3 ng 3: Maunawaan ang mga integral

1. Alamin na maaari mong gamitin ang pagtatasa upang makahanap ng mga kumplikadong lugar at dami. Sa pagtatasa maaari mong sukatin ang mga kumplikadong hugis na kung hindi man mahirap sukatin. Isaalang-alang, halimbawa, ang problemang nais mong malaman kung magkano ang tubig na naglalaman ng isang mahaba, hindi regular na hugis na lawa - imposibleng sukatin nang hiwalay ang bawat litro ng tubig o gumamit ng isang pinuno upang masukat ang hugis ng lawa. Sa pag-aaral maaari mong pag-aralan kung paano nagbabago ang mga gilid ng lawa at pagkatapos ay gamitin ang impormasyong iyon upang malaman kung gaano karaming tubig ang nilalaman nito.
   • Paggawa ng mga modelo ng geometriko at pag-aaral ng dami isama. Ang pinagsamang calculus ay ang pangalawang mahalagang sangay ng pagtatasa.
2. Alamin na ang pagsasama ay ang lugar sa ibaba ng isang graph. Ginagamit ang pagsasama upang sukatin ang puwang sa ibaba ng isang linya, na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang lugar ng mga kakaiba o hindi regular na mga hugis. Kunin ang equation ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Alamin na dapat kang pumili ng isang lugar upang isama. Hindi mo maaaring isama ang isang buong pag-andar. Halimbawa, ${ displaystyle y = x}$Mag-isip tungkol sa kung paano makalkula ang lugar ng isang rektanggulo. Ipagpalagay na mayroon kang isang patag na linya sa itaas ng isang graph, tulad ng ${ displaystyle y = 4.}$Alamin na sa integral na calculus maraming mga maliliit na parihaba ang idinagdag na magkasama upang makita ang lugar ng isang lugar. Kapag pinalaki mo ang isang curve nang labis, lumilitaw na isang tuwid na linya. Nakikita mo ito araw-araw - hindi mo mahahalata ang kurbada ng mundo sapagkat napakalapit mo sa ibabaw ng mundo. Lumilikha ang pagsasama ng isang walang katapusang bilang ng mga maliliit na mga parihaba sa ilalim ng isang curve na napakaliit na ang mga ito ay karaniwang flat, pinapayagan kang bilangin ang mga ito. Ang lahat ng mga parihabang ito na idinagdag na magkasama ay bumubuo ng lugar ng lugar sa ilalim ng isang curve.
   • Ipagpalagay na nagdagdag ka ng maraming maliliit na segment sa ibaba ng graph, at iyon ang lapad ng bawat segment halos ay zero.
3. Alam kung paano basahin at isulat nang tama ang mga integral. Ang integral ay binubuo ng 4 na bahagi. Ang isang tipikal na integral ay ganito ang hitsura:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Matuto nang higit pa tungkol sa paghahanap ng mga integral. Ang pagsasama ay nagmumula sa maraming mga form, at kailangan mong malaman ang maraming iba't ibang mga formula upang isama ang bawat pag-andar. Gayunpaman, lahat sila ay sumusunod sa mga prinsipyong nakabalangkas sa itaas: ang pagsasama ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga bagay.
   • Isama sa pamamagitan ng pagpapalit.
   • Kalkulahin ang mga walang katiyakan na integral.
   • Isama sa pamamagitan ng pagbabahagi.
4. Alamin na ang pagsasama ay ang pabaliktad ng pagkita ng kaibhan at kabaligtaran. Ito ay isang patakaran ng hinlalaki ng pagsusuri na napakahalaga na nabigyan ito ng sarili nitong pangalan: ang Punong Teorya ng Integral na Pagkalkula.Dahil ang pagsasama at pagkita ng kaibhan ay malapit na nauugnay, ang isang kumbinasyon ng dalawa ay maaaring magamit upang matukoy ang rate ng pagbabago, pagpabilis, bilis, lokasyon, paggalaw, atbp, anuman ang impormasyon na mayroon ka.
   • Halimbawa, tandaan na ang hinalaw ng bilis ay ang pagbilis, kaya maaari mong gamitin ang bilis upang hanapin ang bilis. Ngunit kung alam mo lamang ang pagbilis ng isang bagay (tulad ng mga bagay na nahuhulog dahil sa gravity), maaari kang isama upang mabawi ang bilis!
5. Alamin na sa pagsasama maaari mo ring kontrolin ang dami ng mga 3D na bagay. Ang pag-ikot ng isang patag na hugis ay isang paraan upang lumikha ng mga 3D solido. Mag-isip ng isang barya na umiikot sa mesa - pansinin kung paano lumilitaw ang barya na hugis ng isang globo sa pag-ikot nito. Pinapayagan ka ng konseptong ito na matukoy ang dami ayon sa isang proseso na kilala bilang "dami ng pag-ikot".
   • Pinapayagan kang matukoy ang dami ng anumang solid, hangga't mayroon kang isang pagpapaandar na kumakatawan dito. Halimbawa, maaari kang lumikha ng isang pagpapaandar na sinusubaybayan ang ilalim ng isang lawa at pagkatapos ay gamitin iyon upang matukoy ang dami ng lawa, o kung gaano karaming tubig ang naglalaman nito.

Mga Tip

• Ginagawang perpekto ang pagsasanay, kaya't gawin ang mga pagsasanay sa pagsasanay sa iyong aklat - kahit na ang mga hindi ibinigay ng iyong guro - at suriin ang iyong mga sagot upang matulungan kang maunawaan ang mga konsepto nang mas mahusay.
• Kung hindi ka makahanap ng solusyon, tanungin ang iyong guro.