Paano i-factor ang isang binomial

Video.: Factoring Binomials With Exponents, Difference of Squares & Sum of Cubes, 2 Variables - Algebra

Nilalaman

Mga hakbang
Bahagi 1 ng 3: Mga factor ng binomial
Bahagi 2 ng 3: Pag-factor ng mga binomial para sa paglutas ng mga equation
Bahagi 3 ng 3: Paglutas ng Mga Problema sa Kumplikado
Mga Tip
Mga babala

Ang binomial (binomial) ay isang pagpapahayag ng matematika na may dalawang termino sa pagitan nito na mayroong plus o minus sign, halimbawa, ${ displaystyle ax + b}$ ... Kasama sa unang kasapi ang variable, at ang pangalawa ay may kasamang o hindi isinasama ito. Ang pag-factor ng binomial ay nagsasangkot ng paghahanap ng mga term na, kapag pinarami, ay gumagawa ng orihinal na binomial upang malutas o gawing simple ito.

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 3: Mga factor ng binomial

1 Maunawaan ang mga pangunahing kaalaman sa proseso ng pag-iingat. Kapag ang pag-iingat ng isang binomial, ang kadahilanan na isang tagahati ng bawat term ng orihinal na binomial ay inilalabas sa bracket. Halimbawa, ang bilang 6 ay ganap na nahahati ng 1, 2, 3, 6. Sa gayon, ang mga naghahati ng bilang 6 ay ang mga numero 1, 2, 3, 6.
- Mga Dibisyon 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
- Ang mga naghahati ng anumang bilang ay 1 at ang numero mismo. Halimbawa, ang mga divisors ng 3 ay 1 at 3.
- Ang mga integer divisor ay maaari lamang maging mga integer. Ang numero 32 ay maaaring nahahati sa 3.564 o 21.4952, ngunit hindi ka nakakakuha ng isang integer, ngunit isang decimal praksi.
2 Mag-order ng mga tuntunin ng binomial upang mapadali ang proseso ng pag-iingat. Ang binomial ay ang kabuuan o pagkakaiba ng dalawang mga termino, hindi bababa sa isa sa mga ito ay naglalaman ng isang variable. Minsan ang mga variable ay napataas sa isang kapangyarihan, halimbawa, x2{ displaystyle x ^ {2}} o 5y4{ displaystyle 5y ^ {4}}... Mas mahusay na mag-order ng mga tuntunin ng binomial sa pataas na pagkakasunud-sunod ng mga exponents, iyon ay, ang term na may pinakamaliit na exponent ay nakasulat muna, at may pinakamalaking - ang huli. Halimbawa:
- ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
- ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- x2−2{ displaystyle x ^ {2} -2} → −2+x2{ displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - Pansinin ang minus sign sa harap ng 2. Kung ang isang term ay ibawas, sumulat ng isang minus sign sa harap nito.
3 Hanapin ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi (GCD) ng parehong mga term. Ang GCD ay ang pinakamalaking bilang kung saan ang parehong mga miyembro ng binomial ay nahahati. Upang magawa ito, hanapin ang mga divisor ng bawat term sa binomial, at pagkatapos ay piliin ang pinakadakilang karaniwang tagapamahagi. Halimbawa:
- Isang gawain:3t+6{ displaystyle 3t + 6}.
  - Mga Dibisyon 3: 1, 3
  - Mga Dibisyon 6: 1, 2, 3, 6.
  - GCD = 3.
4 Hatiin ang bawat term sa binomial ng Greatest Common Divisor (GCD). Gawin ito upang maituro ang GCD. Tandaan na ang bawat miyembro ng binomial ay bumababa (sapagkat ito ay nahahati), ngunit kung ang GCD ay hindi kasama mula sa panaklong, ang pangwakas na ekspresyon ay magiging katumbas ng orihinal.
- Isang gawain: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- Hanapin ang GCD: 3
- Hatiin ang bawat term na binomial sa pamamagitan ng gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 Ilipat ang tagahatid sa labas ng panaklong. Mas maaga, hinati mo ang parehong mga tuntunin ng binomial ng tagahati 3 at nakuha t+2{ displaystyle t + 2}... Ngunit hindi mo matatanggal ang 3 - upang maging pantay ang mga halaga ng pauna at pangwakas na expression, kailangan mong ilagay ang 3 sa labas ng panaklong, at isulat ang ekspresyong nakuha bilang isang resulta ng paghahati sa panaklong. Halimbawa:
- Isang gawain: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- Hanapin ang GCD: 3
- Hatiin ang bawat term na binomial sa pamamagitan ng gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- I-multiply ang tagahati sa pamamagitan ng nagresultang expression: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
- Sagot: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6 Suriin ang iyong sagot. Upang magawa ito, i-multiply ang term bago ang mga braket sa bawat term sa loob ng mga braket. Kung nakakuha ka ng orihinal na binomial, tama ang solusyon. Ngayon malutas ang problema 12t+18{ displaystyle 12t + 18}:
- Mag-order ng mga miyembro: ${ displaystyle 18 + 12t}$
- Hanapin ang GCD: ${ displaystyle 6}$
- Hatiin ang bawat term na binomial sa pamamagitan ng gcd: ${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- I-multiply ang tagahati sa pamamagitan ng nagresultang expression: ${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- Suriin ang sagot: ${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Bahagi 2 ng 3: Pag-factor ng mga binomial para sa paglutas ng mga equation

1 I-factor ang binomial upang gawing simple ito at malutas ang equation. Sa unang tingin, tila imposibleng malutas ang ilang mga equation (lalo na sa mga kumplikadong binomial). Halimbawa, lutasin ang equation 5y−2y2=−3y{ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}... Mayroong mga kapangyarihan sa equation na ito, kaya munang i-factor ang expression.
- Isang gawain: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- Tandaan na ang binomial ay mayroong dalawang miyembro. Kung ang expression ay may kasamang higit pang mga term, alamin kung paano malutas ang mga polynomial.
2 Magdagdag o ibawas ang ilang monomial sa magkabilang panig ng equation upang ang zero ay mananatili sa isang bahagi ng equation. Sa kaso ng pag-factor, ang solusyon sa mga equation ay batay sa hindi mababago na katotohanan na ang anumang expression na pinarami ng zero ay katumbas ng zero. Samakatuwid, kung ihinahambing namin ang equation sa zero, kung gayon ang alinman sa mga kadahilanan nito ay dapat na katumbas ng zero. Itakda ang isang bahagi ng equation sa 0.
- Isang gawain: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- Itakda sa zero:5y−2y2+3y=−3y+3y{ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 Kadahilanan ang nagresultang basurahan. Gawin ito tulad ng inilarawan sa nakaraang seksyon. Hanapin ang pinakadakilang kadahilanan (GCD), hatiin ang parehong mga term ng binomial sa pamamagitan nito, at pagkatapos ay ilipat ang factor sa labas ng panaklong.
- Isang gawain: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- Itakda sa zero: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- Kadahilanan: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 Itakda ang bawat factor sa zero. Sa nagresultang ekspresyon, ang 2y ay pinarami ng 4 - y, at ang produktong ito ay katumbas ng zero. Dahil ang anumang expression (o term) na pinarami ng zero ay zero, pagkatapos ang 2y o 4 - y ay 0. Itakda ang nagresultang monomial at binomial sa zero upang makahanap ng "y".
- Isang gawain: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- Itakda sa zero: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- Kadahilanan: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- Itakda ang parehong mga kadahilanan sa 0:
  - ${ displaystyle 2y = 0}$
  - ${ displaystyle 4-y = 0}$
5 Malutas ang mga nagreresultang equation upang mahanap ang pangwakas na sagot (o mga sagot). Dahil ang bawat kadahilanan ay katumbas ng zero, ang equation ay maaaring magkaroon ng maraming mga solusyon. Sa aming halimbawa:
- 2y=0{ displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - y = 0
- 4−y=0{ displaystyle 4-y = 0}
  - ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - y = 4
6 Suriin ang iyong sagot. Upang magawa ito, palitan ang mga nahanap na halaga sa orihinal na equation. Kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo, kung gayon ang desisyon ay tama. Palitan ang mga nahanap na halaga sa halip na "y". Sa aming halimbawa, y = 0 at y = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ displaystyle 0 = 0}$ Ito ang tamang desisyon
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ displaystyle -12 = -12}$ At ito ang tamang desisyon

Bahagi 3 ng 3: Paglutas ng Mga Problema sa Kumplikado

1 Tandaan na ang isang term na may isang variable ay maaari ring maging factorized, kahit na ang variable ay itinaas sa isang kapangyarihan. Kapag nagtutuon ng pansin, kailangan mong maghanap ng isang monomial na hinahati sa bawat miyembro ng binomial na magkakaisa. Halimbawa, ang monomial x4{ displaystyle x ^ {4}} maaaring maging factorized x∗x∗x∗x{ displaystyle x * x * x * x}... Iyon ay, kung ang pangalawang termino ng binomial ay naglalaman din ng variable na "x", kung gayon ang "x" ay maaaring makuha sa mga braket. Kaya, ituring ang mga variable bilang mga integer. Halimbawa:
- Parehong miyembro ng binomial ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ naglalaman ng "t", kaya't ang "t" ay maaaring makuha sa labas ng panaklong: ${ displaystyle t (2 + t)}$
- Gayundin, ang isang variable na nakataas sa isang lakas ay maaaring makuha mula sa bracket. Halimbawa, ang parehong mga miyembro ng binomial ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ maglagay ${ displaystyle x ^ {2}}$ , ganun ${ displaystyle x ^ {2}}$ maaaring makuha sa labas ng bracket: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 Magdagdag o ibawas ang mga katulad na term upang makakuha ng isang binomial. Halimbawa, binigyan ng ekspresyon 6+2x+14+3x{ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... Sa unang tingin, ito ay isang polynomial, ngunit sa katunayan, ang ekspresyong ito ay maaaring mapalitan sa isang binomial. Magdagdag ng mga katulad na term: 6 at 14 (huwag maglaman ng variable), at 2x at 3x (naglalaman ng parehong variable na "x"). Sa kasong ito, gagawing simple ang proseso ng pag-iingat.
- Orihinal na expression: ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- Mag-order ng mga miyembro: ${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- Magdagdag ng mga katulad na termino: ${ displaystyle 5x + 20}$
- Hanapin ang GCD: ${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- Kadahilanan: ${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3 Isaalang-alang ang pagkakaiba ng mga perpektong parisukat. Ang isang perpektong parisukat ay isang numero na ang square square ay isang integer, halimbawa 9{ displaystyle 9}(3∗3){ displaystyle (3 * 3)}, x2{ displaystyle x ^ {2}}(x∗x){ displaystyle (x * x)} at kahit na 144t2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12t∗12t){ displaystyle (12t * 12t)}... Kung ang binomial ay ang pagkakaiba ng perpektong mga parisukat, halimbawa, a2−b2{ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}, pagkatapos ito ay nabuong factor sa pamamagitan ng pormula:
- Pagkakaiba ng formula ng mga parisukat: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
- Isang gawain: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- I-extract ang mga square root:
  - ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- Palitan ang mga nahanap na halaga sa formula: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4 Isaalang-alang ang pagkakaiba sa pagitan ng mga kumpletong cube. Kung ang binomial ay ang pagkakaiba ng kumpletong mga cube, halimbawa, a3−b3{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}, pagkatapos ito ay napapangkat gamit ang isang espesyal na pormula. Sa kasong ito, kinakailangan na kunin ang cube root mula sa bawat miyembro ng binomial, at palitan ang mga nahanap na halaga sa formula.
- Ang formula para sa pagkakaiba sa pagitan ng mga cube: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- Isang gawain: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- I-extract ang mga cubic root:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Palitan ang mga nahanap na halaga sa formula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 Isaalang-alang ang kabuuan ng buong mga cube. Hindi tulad ng kabuuan ng mga perpektong parisukat, ang kabuuan ng kumpletong mga cube, halimbawa, a3+b3{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}, maaaring maging factorized gamit ang isang espesyal na formula. Ito ay katulad ng pormula para sa pagkakaiba sa pagitan ng mga cube, ngunit ang mga palatandaan ay nabaligtad. Ang formula ay medyo simple - upang magamit ito, hanapin ang kabuuan ng mga buong cube sa problema.
- Ang formula para sa kabuuan ng mga cube: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- Isang gawain: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- I-extract ang mga cubic root:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- Palitan ang mga nahanap na halaga sa formula: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Mga Tip

Minsan ang mga myembro ng binomial ay walang isang karaniwang tagapamahagi. Sa ilang mga gawain, ang mga miyembro ay ipinakita sa isang pinasimple na form.
Kung hindi mo makita kaagad ang GCD, magsimula sa pamamagitan ng paghahati sa maliliit na numero. Halimbawa, kung hindi mo nakikita na ang GCD ng mga numero 32 at 16 ay 16, hatiin ang parehong mga numero sa 2. Makakakuha ka ng 16 at 8; ang mga numerong ito ay maaaring nahahati sa 8. Ngayon makakakuha ka ng 2 at 1; ang mga bilang na ito ay hindi maaaring mabawasan. Kaya, malinaw na mayroong isang mas malaking bilang (kumpara sa 8 at 2), na kung saan ay ang karaniwang tagahati ng dalawang ibinigay na mga numero.
Tandaan na ang mga termino ng pang-anim na order (na may exponent na 6, halimbawa x) ay parehong perpektong mga parisukat at perpektong mga cube. Kaya, sa mga binomial na may mga termino ng pang-anim na order, halimbawa, x - 64, maaaring mailapat (sa anumang pagkakasunud-sunod) ang mga formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat at pagkakaiba ng mga cube. Ngunit mas mahusay na ilapat muna ang formula para sa pagkakaiba ng mga parisukat upang mas wastong mabulok sa isang binomial.