Nilalaman

• Mga hakbang
• Paraan 1 ng 3: Paano malutas ang isang cubic equation nang walang pare-pareho na term
• Paraan 2 ng 3: Paano Makahanap ng Buong Mga Roots Gamit ang Mga Multiplier
• Paraan 3 ng 3: Paano Malulutas ang isang Equation Gamit ang Discriminant

Sa isang cubic equation, ang pinakamataas na exponent ay 3, tulad ng isang equation ay may 3 Roots (solusyon) at mayroon itong form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Ang ilang mga cubic equation ay hindi gaanong madaling malutas, ngunit kung ilalapat mo ang tamang pamamaraan (na may mahusay na teoretikal na background), mahahanap mo ang mga ugat ng kahit na ang pinaka-kumplikadong cubic equation - para sa paggamit na ito ng formula para sa paglutas ng quadratic equation, hanapin ang buong ugat, o kalkulahin ang diskriminasyon.

Mga hakbang

Paraan 1 ng 3: Paano malutas ang isang cubic equation nang walang pare-pareho na term

1. 1 Alamin kung mayroong isang libreng kataga sa equation ng kubiko d{ displaystyle d}. Ang cubic equation ay mayroong form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Para sa isang equation na maituturing na kubiko, ito ay sapat na ang term lamang ${ displaystyle x ^ {3}}$ (iyon ay, maaaring walang iba pang mga miyembro sa lahat).
   • Kung ang equation ay may isang libreng term ${ displaystyle d}$, gumamit ng ibang pamamaraan.
   • Kung sa equation ${ displaystyle a = 0}$, hindi ito cubic.
2. 2 Lumabas sa mga braket x{ displaystyle x}. Dahil walang libreng term sa equation, ang bawat term sa equation ay may kasamang variable ${ displaystyle x}$... Nangangahulugan ito na ang isa ${ displaystyle x}$ maaaring maibukod mula sa panaklong upang gawing simple ang equation. Kaya, ang equation ay isusulat tulad nito: ${ displaystyle x (palakol ^ {2} + bx + c)}$.
   • Halimbawa, binigyan ng isang cubic equation ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Ilabas mo ${ displaystyle x}$ mga braket at kumuha ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Factor (ang produkto ng dalawang binomial) ang quadratic equation (kung maaari). Maraming mga quadratic equation ng form ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ maaaring maging factorized. Ang nasabing isang equation ay magaganap kung maglabas kami ${ displaystyle x}$ sa labas ng mga braket. Sa aming halimbawa:
   • Lumabas sa mga braket ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Isaalang-alang ang quadratic equation: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Pantayin ang bawat basurahan sa ${ displaystyle 0}$... Ang mga ugat ng equation na ito ay ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Malutas ang isang quadratic equation gamit ang isang espesyal na formula. Gawin ito kung ang quadratic equation ay hindi maaaring maging factorized. Upang makahanap ng dalawang mga ugat ng isang equation, ang mga halaga ng mga coefficients ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ kapalit sa pormula ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Sa aming halimbawa, palitan ang mga halaga ng mga coefficients ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) sa pormula:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Unang ugat:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Pangalawang ugat:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Gumamit ng zero at quadratic Roots bilang mga solusyon sa cubic equation. Ang mga quadratic equation ay mayroong dalawang ugat, habang ang mga cubic ay may tatlo. Natagpuan mo na ang dalawang solusyon - ito ang mga ugat ng quadratic equation. Kung inilagay mo ang "x" sa labas ng mga braket, ang pangatlong solusyon ay ${ displaystyle 0}$.
   • Kung aalisin mo ang "x" mula sa mga braket, makakakuha ka ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, iyon ay, dalawang kadahilanan: ${ displaystyle x}$ at isang quadratic equation sa mga braket. Kung alinman sa mga salik na ito ay ${ displaystyle 0}$, ang buong equation ay katumbas din ng ${ displaystyle 0}$.
   • Kaya, ang dalawang mga ugat ng isang quadratic equation ay mga solusyon ng isang cubic equation. Ang pangatlong solusyon ay ${ displaystyle x = 0}$.

Paraan 2 ng 3: Paano Makahanap ng Buong Mga Roots Gamit ang Mga Multiplier

1. 1 Siguraduhing mayroong isang libreng term sa equation ng cubic d{ displaystyle d}. Kung sa isang equation ng form ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ may isang libreng kasapi ${ displaystyle d}$ (na hindi katumbas ng zero), hindi ito gagana upang ilagay ang "x" sa labas ng mga braket. Sa kasong ito, gamitin ang pamamaraang nakabalangkas sa seksyong ito.
   • Halimbawa, binigyan ng isang cubic equation ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Upang makakuha ng zero sa kanang bahagi ng equation, idagdag ${ displaystyle 6}$ sa magkabilang panig ng equation.
   • Ang equation ay magpapasara ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Bilang ${ displaystyle d = 6}$, ang pamamaraang inilarawan sa unang seksyon ay hindi maaaring gamitin.
2. 2 Isulat ang mga kadahilanan ng koepisyent a{ displaystyle a} at isang libreng kasapi d{ displaystyle d}. Iyon ay, hanapin ang mga kadahilanan ng numero sa ${ displaystyle x ^ {3}}$ at mga numero bago ang pantay na pag-sign. Alalahanin na ang mga kadahilanan ng isang numero ay ang mga numero na, kapag pinarami, ay gumagawa ng numerong iyon.
   • Halimbawa, upang makuha ang numero 6, kailangan mong dumami ${ displaystyle 6 beses 1}$ at ${ displaystyle 2 beses 3}$... Kaya ang mga numero 1, 2, 3, 6 ay mga kadahilanan ng bilang 6.
   • Sa aming equation ${ displaystyle a = 2}$ at ${ displaystyle d = 6}$... Mga Multiplier 2 ay 1 at 2... Mga Multiplier 6 ang mga numero 1, 2, 3 at 6.
3. 3 Hatiin ang bawat kadahilanan a{ displaystyle a} para sa bawat kadahilanan d{ displaystyle d}. Bilang isang resulta, nakakakuha ka ng maraming mga praksyon at maraming mga integer; ang mga ugat ng cubic equation ay magiging isa sa mga integer o ang negatibong halaga ng isa sa mga integer.
   • Sa aming halimbawa, hatiin ang mga kadahilanan ${ displaystyle a}$ (1 at 2) sa pamamagitan ng mga salik ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 at 6). Makukuha mo: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ at ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Magdagdag ngayon ng mga negatibong halaga ng mga nakuha na mga praksyon at numero sa listahang ito: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ at ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Ang buong mga ugat ng cubic equation ay ilang mga numero mula sa listahang ito.
4. 4 I-plug in ang mga integer sa cubic equation. Kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo, ang pamalit na numero ay ang ugat ng equation. Halimbawa, kapalit sa equation ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, iyon ay, hindi sinusunod ang pagkakapantay-pantay. Sa kasong ito, plug sa susunod na numero.
   • Kapalit ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 + (- 13) +6}$ = 0. Sa gayon, ${ displaystyle -1}$ ay ang buong ugat ng equation.
5. 5 Gamitin ang pamamaraan ng paghahati ng mga polynomial ng Skema ni Hornerupang mahanap ang mga ugat ng equation nang mas mabilis. Gawin ito kung hindi mo nais na manu-manong kapalit ng mga numero sa equation. Sa pamamaraan ni Horner, ang mga integer ay nahahati sa mga halaga ng mga coefficients ng equation ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ at ${ displaystyle d}$... Kung ang mga numero ay pantay na nahahati (iyon ay, ang natitira ay ${ displaystyle 0}$), isang integer ang ugat ng equation.
   • Ang pamamaraan ni Horner ay nararapat sa isang hiwalay na artikulo, ngunit ang sumusunod ay isang halimbawa ng pagkalkula ng isa sa mga ugat ng aming cubic equation gamit ang scheme na ito:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Kaya ang natitira ay ${ displaystyle 0}$, ngunit ${ displaystyle -1}$ ay isa sa mga ugat ng equation.

Paraan 3 ng 3: Paano Malulutas ang isang Equation Gamit ang Discriminant

1. 1 Isulat ang mga halaga ng mga coefficients ng equation a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} at d{ displaystyle d}. Inirerekumenda namin na isulat mo ang mga halaga ng ipinahiwatig na mga koepisyent nang maaga upang hindi malito sa hinaharap.
   • Halimbawa, binigyan ang equation ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$... Isulat ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ at ${ displaystyle d = -1}$... Alalahanin iyan kung dati ${ displaystyle x}$ walang numero, ang kaukulang koepisyent ay mayroon pa rin at katumbas ng ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Kalkulahin ang zero discriminant gamit ang isang espesyal na formula. Upang malutas ang isang cubic equation gamit ang diskriminante, kailangan mong magsagawa ng isang bilang ng mga mahirap na kalkulasyon, ngunit kung naisasagawa mo nang tama ang lahat ng mga hakbang, ang pamamaraang ito ay magiging kinakailangan para sa paglutas ng pinaka-kumplikadong mga cubic equation. Unang makalkula ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (zero discriminant) ang unang halagang kailangan natin; upang gawin ito, palitan ang mga katumbas na halaga sa formula ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Ang diskriminante ay isang bilang na nagpapakilala sa mga ugat ng isang polynomial (halimbawa, ang diskriminante ng isang quadratic equation ay kinakalkula ng pormula ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Sa aming equation:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Kalkulahin ang unang diskriminante gamit ang formula Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Unang diskriminante ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - ito ang pangalawang mahalagang halaga; upang makalkula ito, isaksak ang mga katumbas na halaga sa tinukoy na formula.
   • Sa aming equation:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Kalkulahin:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Iyon ay, hanapin ang diskriminante ng cubic equation sa pamamagitan ng mga nakuha na halaga ${ displaystyle Delta _ {0}}$ at ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Kung ang diskriminante ng isang cubic equation ay positibo, ang equation ay may tatlong mga ugat; kung ang diskriminante ay zero, ang equation ay may isa o dalawang ugat; kung ang diskriminante ay negatibo, ang equation ay may isang ugat.
   • Ang isang equation na cubic ay palaging may hindi bababa sa isang ugat, dahil ang graph ng equation na ito ay tumatawid sa X-axis ng hindi bababa sa isang punto.
   • Sa aming equation ${ displaystyle Delta _ {0}}$ at ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ay pantay ${ displaystyle 0}$, upang madali mong makalkula ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Kaya, ang aming equation ay may isa o dalawang ugat.

5. 5 Kalkulahin:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { pakaliwa ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } kanan) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - ito ang huling mahalagang dami na mahahanap; tutulungan ka nitong kalkulahin ang mga ugat ng equation. Palitan ang mga halaga sa tinukoy na formula ${ displaystyle Delta _ {1}}$ at ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Sa aming equation:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Maghanap ng tatlong mga ugat ng equation. Gawin ito sa pormula ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, saan ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, ngunit n ay katumbas ng 1, 2 o 3... Palitan ang naaangkop na mga halaga sa formula na ito - bilang isang resulta, makakakuha ka ng tatlong mga ugat ng equation.
   • Kalkulahin ang halaga gamit ang formula sa n = 1, 2 o 3at pagkatapos suriin ang sagot. Kung makakakuha ka ng 0 kapag tiningnan mo ang iyong sagot, ang halagang ito ang ugat ng equation.
   • Sa aming halimbawa, kapalit 1 sa ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x-1}$ at kumuha 0, ibig sabihin 1 ay isa sa mga ugat ng equation.