Nilalaman

• Mga hakbang
• Payo

Kung ikaw ay isang dalub-agbilang o isang graphic programmer, malamang na hanapin mo ang anggulo sa pagitan ng dalawang ibinigay na mga vector. Sa artikulong ito, ipinapakita sa iyo ng wikiHow kung paano mo ito gagawin.

Mga hakbang

Bahagi 1 ng 2: Hanapin ang anggulo sa pagitan ng dalawang mga vector

1. 

   Kahulugan ng Vector. Isulat ang lahat ng impormasyon tungkol sa dalawang mga vector na mayroon ka. Ipagpalagay na mayroon ka lamang tinukoy na mga parameter ng kanilang mga dimensional na koordinasyon (tinatawag ding mga sangkap). Kung alam mo na ang haba (magnitude) ng isang vector, maaari mong laktawan ang ilan sa mga hakbang sa ibaba.
   • Halimbawa: Dalawang-dimensional na vector = (2,2) at dalawang-dimensional na vector = (0,3). Maaari din silang maisulat bilang = 2ako + 2j at = 0ako + 3j = 3j.
   • Bagaman ang mga two-dimensional na vector ay ginagamit sa halimbawa sa artikulong ito, ang mga sumusunod na tagubilin ay maaaring mailapat sa mga vector na may anumang bilang ng mga sukat.

2. 

   
   
   Isulat ang pormula sa cosine. Upang makita ang anggulo θ sa pagitan ng dalawang mga vector, nagsisimula kami sa pormula para sa paghahanap ng cosine para sa anggulong iyon. Maaari mong malaman ang tungkol sa pormulang ito sa ibaba, o isulat lamang ito tulad nito:
   • cosθ = (•) / (||
   • || nangangahulugang "haba ng vector".
   • • ay ang scalar na produkto ng dalawang vector - ipapaliwanag ito sa ibaba.

3. 

   
   
   Kalkulahin ang haba ng bawat vector. Isipin ang isang tamang tatsulok ay binubuo ng x, y mga bahagi ng vector, at ang vector mismo. Ang vector ay bumubuo ng hypotenuse ng tatsulok, kaya upang hanapin ang haba nito ginagamit namin ang Pythagorean theorem. Sa katunayan, ang formula na ito ay maaaring madaling mapalawak sa isang vector ng anumang bilang ng mga sukat.
   • || u || = ikaw₁ + ikaw₂. Kung ang isang vector ay may higit sa dalawang mga elemento, kailangan mo lamang na patuloy na magdagdag ng + u₃ + ikaw₄ +...
   • Samakatuwid, para sa isang dalawang-dimensional na vector, || u || = √ (u₁ + ikaw₂).
   • Sa halimbawang ito, || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Kalkulahin ang scalar na produkto ng dalawang mga vector. Marahil natutunan mo ang pamamaraan ng pagdaragdag ng vector, na kilala rin bilang skalar ito Upang makalkula ang produkto ng scalar na may kaugnayan sa kanilang komposisyon, i-multiply ang mga sangkap sa bawat direksyon nang magkasama, pagkatapos ay idagdag ang buong resulta.
   • Para sa programang grapiko, mangyaring sumangguni sa Mga Tip bago magbasa nang higit pa.
   • Sa matematika • = ikaw₁v₁ + ikaw₂v₂, saan, u = (u₁, ikaw₂). Kung ang vector ay may higit sa dalawang mga elemento, idagdag lamang ang + u₃v₃ + ikaw₄v₄...
   • Sa halimbawang ito, • = u₁v₁ + ikaw₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Ito ang scalar na produkto ng vector at ng vector.

5. 

   Ilagay ang mga resulta sa formula. Tandaan na ang cosθ = (•) / (||| || || ||). Ngayon alam namin ang parehong produkto ng scalar at ang haba ng bawat vector. Ipasok ang mga ito sa pormula upang makalkula ang cosine ng anggulo.
   • Sa aming halimbawa, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Hanapin ang anggulo batay sa cosine nito. Maaari mong gamitin ang arccos o cos function sa isang calculator upang makahanap ng θ mula sa isang kilalang halaga ng cos. Sa ilang mga resulta, maaari mong makita ang anggulo batay sa bilog ng yunit.
   • Sa halimbawa, cosθ = √2 / 2. Ipasok ang "arccos (√2 ​​/ 2)" sa iyong calculator upang hanapin ang anggulo. O, mahahanap mo ang anggulo θ sa bilog ng yunit, sa posisyon na cosθ = √2 / 2. Totoo ito para sa θ = /₄ o 45º.
   • Pinagsasama ang lahat, ang pangwakas na pormula ay: anggulo θ = arccosine ((•) / (||| || || ||))
   anunsyo

Bahagi 2 ng 2: Pagpapasiya ng formula ng anggulo

1. 

   Maunawaan ang layunin ng pormula. Ang pormulang ito ay hindi nagmula sa mga umiiral nang mga panuntunan. Sa halip, nabuo ito bilang kahulugan ng produkto ng scalar at ang anggulo sa pagitan ng dalawang mga vector. Kahit na, hindi ito isang di-makatwirang desisyon. Bumalik sa pangunahing geometry, mauunawaan natin kung bakit nagbibigay ang formula na ito ng mga intuitive at kapaki-pakinabang na kahulugan.
   • Ang mga halimbawa sa ibaba ay gumagamit ng dalawang-dimensional na mga vector dahil ang mga ito ay pinakamadaling maunawaan at pinakasimpleng. Ang mga three-dimensional o higit pang mga vector ay may mga katangian na tinukoy ng halos magkatulad na pangkalahatang mga pormula.

2. 

   Suriin ang teorama ni Cosine. Isaalang-alang ang isang ordinaryong tatsulok na may anggulo θ sa pagitan ng mga gilid a at b, kabaligtaran sa gilid c. Sinasabi ng Theine ng Cosine na c = a + b -2abcos(θ). Ang resulta na ito ay iginuhit nang simple mula sa pangunahing geometry.

3. 

   Ikonekta ang dalawang mga vector, na bumubuo ng isang tatsulok. Gumuhit ng isang pares ng dalawang-dimensional na mga vector sa papel, mga vector at vector, na may θ na angulo sa pagitan nila. Gumuhit ng pangatlong vector sa pagitan ng dalawang ito upang lumikha ng isang tatsulok. Sa madaling salita, gumuhit ng isang vector tulad ng + =. Vector = -.

4. 

   Isulat ang teoryang Cosine para sa tatsulok na ito. Palitan ang haba ng gilid ng aming "vector triangle" sa Cosine theorem:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Isulat muli sa produkto ng scalar. Tandaan, ang isang scalar na produkto ay ang imahe ng isang vector sa isa pa. Ang scalar na produkto ng isang vector na may mismong ito ay hindi nangangailangan ng projection, dahil dito, walang pagkakaiba sa direksyon. Nangangahulugan iyon ng • = || a ||. Gamit ito, muling isinusulat namin ang equation:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Matagumpay na muling isinulat ang parehong formula. Palawakin ang kaliwang bahagi ng pormula, pagkatapos ay gawing simple upang makuha ang pormula na ginamit upang makahanap ng mga anggulo.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   anunsyo

Payo

• Upang baguhin ang mga halaga at malutas ang problema nang mabilis, gamitin ang formula na ito para sa anumang pares ng mga dalawang-dimensional na vector: cosθ = (u₁ • v₁ + ikaw₂ • v₂) / (√ (u₁ • ikaw₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Kung nagtatrabaho ka sa software ng graphics ng computer, malamang na mapangalagaan mo lang ang dimensyon ng mga vector nang hindi nag-aalala tungkol sa kanilang haba. Gamitin ang mga sumusunod na hakbang upang paikliin ang isang equation at mapabilis ang iyong programa:
  • Gawing normal ang bawat vector upang ang mga ito ay katumbas ng 1. Upang magawa ito, hatiin ang bawat bahagi ng vector sa haba nito.
  • Kunin ang na-normalize na produkto ng scalar sa halip na ang orihinal na vector.
  • Dahil ang haba ay 1, maaari naming ibukod ang mga elemento ng haba mula sa equation. Panghuli, ang anggulo na equation na nakuha ay arccos (•).
• Batay sa pormula sa cosine, mabilis nating matutukoy kung ang anggulo ay talamak o mapagmataas. Magsimula sa cosθ = (•) / (||
  • Ang kaliwa at kanang bahagi ng equation ay dapat magkaroon ng parehong tanda (positibo o negatibo).
  • Dahil ang haba ay palaging positibo, ang cosθ ay dapat magkaroon ng parehong pag-sign tulad ng skalar produkto.
  • Samakatuwid, kung ang produkto ay positibo, positibo rin ang cos positive. Kami ay nasa unang kuwadrante ng bilog ng yunit, na may θ <π / 2 o 90º. Ang anggulo upang hanapin ay ang matalim anggulo.
  • Kung negatibo ang produkto ng scalar, negatibo ang cosθ. Nasa ikalawang kuwadrante kami ng bilog ng yunit, na may π / 2 <θ ≤ π o 90º <θ ≤ 180º. Iyon ang sulok ng bilangguan.