Nilalaman

• Mga hakbang

Ang isang equation na trigonometric ay naglalaman ng isa o higit pang mga function na trigonometric ng variable na "x" (o anumang iba pang variable). Ang paglutas ng isang equonometric equation ay ang paghahanap ng isang halagang "x" na nagbibigay-kasiyahan sa (mga) pagpapaandar at sa equation bilang isang buo.

• Ang mga solusyon sa mga equation na trigonometric ay ipinahayag sa degree o radian. Mga halimbawa:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 degree; x = 37.12 degree; x = 178.37 degree.

• Tandaan: ang mga halaga ng mga pag-andar ng trigonometric mula sa mga anggulo, ipinahayag sa mga radian, at mula sa mga anggulo, na ipinahayag sa mga degree, ay pantay. Ang isang bilog na trigonometric na may radius na katumbas ng isa ay ginagamit upang ilarawan ang mga function na trigonometric, pati na rin upang suriin ang kawastuhan ng solusyon ng pangunahing mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric.
• Mga halimbawa ng mga equation na trigonometric:
  • kasalanan x + kasalanan 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1.732;
  • cos 3x + kasalanan 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Isang bilog na trigonometric na may radius ng isa (bilog ng yunit).
   • Ito ay isang bilog na may radius na katumbas ng isa at gitna sa puntong O. Inilalarawan ng bilog ng yunit ang 4 pangunahing mga pag-andar ng trigonometric ng variable na "x", kung saan ang "x" ay ang anggulo na sinusukat mula sa positibong direksyon ng X axis nang pabaliktad.
   • Kung ang "x" ay ilang anggulo sa bilog ng yunit, kung gayon:
   • Ang pahalang na axis na OAx ay tumutukoy sa pagpapaandar F (x) = cos x.
   • Ang patayong axis na OBy ay tumutukoy sa pagpapaandar F (x) = sin x.
   • Ang patayong axis AT ay tumutukoy sa pagpapaandar F (x) = tan x.
   • Ang pahalang na axis BU ay tumutukoy sa pagpapaandar F (x) = ctg x.

• Ginagamit din ang bilog ng yunit upang malutas ang pangunahing mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ng mga trigonometric (iba't ibang mga posisyon ng "x" ay isinasaalang-alang dito).

Mga hakbang

1. 1 Ang konsepto ng paglutas ng mga equation na trigonometric.
   • Upang malutas ang isang equonometric equation, i-convert ito sa isa o higit pang mga pangunahing equation na trigonometric. Ang paglutas ng isang equonometric equation sa huli ay bumababa sa paglutas ng apat na pangunahing equation na trigonometric.
2. 2 Paglutas ng pangunahing mga equation na trigonometric.
   • Mayroong 4 na uri ng pangunahing mga equation na trigonometric:
   • kasalanan x = a; cos x = a
   • tg x = a; CTg x = a
   • Ang paglutas ng pangunahing mga equation na trigonometric ay nagsasangkot ng pagtingin sa iba't ibang mga x posisyon sa bilog ng yunit at paggamit ng isang talahanayan ng conversion (o calculator).
   • Halimbawa 1.kasalanan x = 0.866. Gamit ang isang talahanayan ng conversion (o calculator), nakukuha mo ang sagot: x = π / 3. Nagbibigay ang bilog ng unit ng isa pang sagot: 2π / 3. Tandaan: ang lahat ng mga function na trigonometric ay pana-panahon, iyon ay, inuulit ang kanilang mga halaga. Halimbawa, ang pagiging regular ng sin x at cos x ay 2πn, at ang periodicity ng tg x at ctg x ay πn. Samakatuwid, ang sagot ay nakasulat tulad ng sumusunod:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn
   • Halimbawa 2.cos x = -1/2. Gamit ang isang talahanayan ng conversion (o calculator), nakukuha mo ang sagot: x = 2π / 3. Nagbibigay ang bilog ng unit ng isa pang sagot: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Halimbawa 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Sagot: x = π / 4 + πn
   • Halimbawa 4. CTg 2x = 1.732.
   • Sagot: x = π / 12 + πn
3. 3 Mga pagbabagong ginamit upang malutas ang mga equation na trigonometric.
   • Upang mabago ang mga equation na trigonometric, ginagamit ang mga transformation ng algebraic (factorization, pagbawas ng mga homogenous na termino, atbp.) At mga trigonometric na pagkakakilanlan.
   • Halimbawa 5. Gamit ang trigonometric identities, ang equation sin x + sin 2x + sin 3x = 0 ay binago sa equation 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Kaya, kailangan mong malutas ang mga sumusunod na pangunahing equation ng trigonometric: cos x = 0; kasalanan (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Paghanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga pagpapaandar.
   • Bago matuto ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric, kailangan mong malaman kung paano makahanap ng mga anggulo mula sa mga kilalang halaga ng mga pag-andar. Maaari itong magawa gamit ang isang table ng conversion o calculator.
   • Halimbawa: cos x = 0.732. Ibibigay ng calculator ang sagot x = 42.95 degree. Ang bilog ng yunit ay magbibigay ng mga karagdagang anggulo, ang cosine na kung saan ay 0.732 din.
5. 5 Itabi ang solusyon sa bilog ng yunit.
   • Maaari mong ipagpaliban ang mga solusyon sa equation na trigonometric sa bilog ng yunit. Ang mga solusyon ng trigonometric equation sa bilog ng yunit ay ang mga vertex ng isang regular na polygon.
   • Halimbawa: Ang mga solusyon x = π / 3 + πn / 2 sa bilog ng yunit ay ang mga vertex ng isang parisukat.
   • Halimbawa: Ang mga solusyon x = π / 4 + πn / 3 sa bilog ng yunit ay kumakatawan sa mga vertex ng isang regular na hexagon.
6. 6 Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na trigonometric.
   • Kung ang isang naibigay na equation na trig ay naglalaman lamang ng isang trig function, lutasin ang equation na iyon bilang pangunahing trig equation.Kung ang isang naibigay na equation ay may kasamang dalawa o higit pang mga function na trigonometric, pagkatapos ay mayroong 2 pamamaraan para sa paglutas ng naturang equation (depende sa posibilidad ng pagbabago nito).
     • Paraan 1.
   • I-convert ang equation na ito sa isang equation ng form: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kung saan ang f (x), g (x), h (x) ay ang mga pangunahing equation na trigonometric.
     
     
   • Halimbawa 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Solusyon Gamit ang formula ng doble na anggulo sin 2x = 2 * sin x * cos x, palitan ang sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing equation na trigonometric: cos x = 0 at (sin x + 1) = 0.
   • Halimbawa 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Solusyon: Gamit ang mga pagkakakilanlang trigonometric, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng form: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing equation na trigonometric: cos 2x = 0 at (2cos x + 1) = 0.
   • Halimbawa 8.kasalanan x - kasalanan 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Solusyon: Gamit ang mga pagkakakilanlang trigonometric, ibahin ang equation na ito sa isang equation ng form: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Ngayon lutasin ang dalawang pangunahing equation na trigonometric: cos 2x = 0 at (2sin x + 1) = 0
     • Paraan 2.
   • I-convert ang ibinigay na equation na trigonometric sa isang equation na naglalaman lamang ng isang trigonometric function. Pagkatapos palitan ang trigonometric function na ito ng ilang hindi kilalang, halimbawa, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, atbp.).
   • Halimbawa 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Solusyon Sa equation na ito, palitan ang (cos ^ 2 x) ng (1 - sin ^ 2 x) (ayon sa pagkakakilanlan). Ang binago na equation ay:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Palitan ang sin x ng t. Ganito ang hitsura ng equation: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Ito ay isang quadratic equation na may dalawang ugat: t1 = -1 at t2 = 9/5. Ang pangalawang ugat na t2 ay hindi nasiyahan ang saklaw ng mga halaga ng pagpapaandar (-1 kasalanan x 1). Ngayon magpasya: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Halimbawa 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Solusyon Palitan ang tg x ng t. Isulat muli ang orihinal na equation tulad ng sumusunod: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Ngayon hanapin ang t at pagkatapos hanapin ang x para sa t = tg x.
7. 7 Mga espesyal na equation na trigonometric.
   • Mayroong maraming mga espesyal na equation na trigonometric na nangangailangan ng mga tiyak na pagbabago. Mga halimbawa:
   • isang * kasalanan x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Panahon ng mga function na trigonometric.
   • Tulad ng nabanggit nang mas maaga, ang lahat ng mga pag-andar ng trigonometric ay pana-panahon, iyon ay, ang kanilang mga halaga ay inuulit pagkatapos ng isang tiyak na panahon. Mga halimbawa:
     • Ang panahon ng pagpapaandar f (x) = sin x ay 2π.
     • Ang panahon ng pagpapaandar f (x) = tan x ay katumbas ng π.
     • Ang panahon ng pagpapaandar f (x) = sin 2x ay π.
     • Ang panahon ng pagpapaandar f (x) = cos (x / 2) ay 4π.
   • Kung ang panahon ay tinukoy sa problema, kalkulahin ang halagang "x" sa loob ng panahong ito.
   • Tandaan: Ang paglutas ng mga equonometric equation ay hindi isang madaling gawain at madalas na humantong sa mga error. Kaya't suriing mabuti ang iyong mga sagot. Upang magawa ito, maaari mong gamitin ang isang calculator ng graphing upang magbalangkas ng ibinigay na equation na R (x) = 0. Sa mga ganitong kaso, ipapakita ang mga solusyon bilang decimal fractions (iyon ay, π ay pinalitan ng 3.14).